Question

如圖（1），在等腰直角△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D為AB上任一點(diǎn)，連接CD，沿直線CD翻折△ADC到△FDC，作∠BCF的角平分線CE，交AB于E．
（1）猜想線段AD、DE和EB之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）若D點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)（A、B點(diǎn)除外），你的結(jié)論是否依然成立？并用圖（2）加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形,翻折變換（折疊問(wèn)題）

專題：

分析：（1）求出△FCE≌△BCE，推出EF=BE，∠3=∠4，求出∠5+∠3=90°，根據(jù)勾股定理得出DF²+EF²=DE²即可；
（2）求出三角形DEF是直角三角形，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答：解：（1）∵CE為平分線，
∴∠1=∠2，
∵沿直線CD翻折△ADC到△FDC，
∴AD=DF，AC=FC，∠5=∠6，
∵AC=BC，
∴FC=BC，
在△FCE和△BCE中

CF=CB ∠1=∠2 CE=EC

∴△FCE≌△BCE（SAS），
∴EF=BE，∠3=∠4，
∵∠6+∠4=90°，
∴∠5+∠3=90°，
∴DF²+EF²=DE²，
∵AD=DF，EF=BE，
∴AD²+BE²=DE²；
（2）成立，
證明：連接EF，
由（1）可得△CFE≌△CBE，
∴∠CFE=∠2，EF=BE，
∵AD=DF，∠A=∠1=45°，
∴∠2=135°，
∴∠CFE=135°，
∴∠DFE=135°-45°=90°，
∴△DFE是直角三角形，
∴DF²+EF²=DE²，
∵EF=BE，DF=AD，
∴AD²+BE²=DE²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出三角形DEF是直角三角形．