Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，且AB=12，AP是半圓的切線，點C是半圓上的一動點（不與點A、B重合），過點C作CD⊥AP于點D，記∠COA=α．
（1）當(dāng)α=60°時，求CD的長；
（2）當(dāng)α為何值時，CD與⊙O相切？說明理由；
（3）當(dāng)AD=3

2

時，求α的值．

Answer 1

考點：切線的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）作CE⊥AB于點E，在直角△OCE中，利用三角函數(shù)求得OE的長，則CD=AE=OA-OE，據(jù)此即可求解；
（2）當(dāng)∠α=90°時，CD與⊙O相切，根據(jù)切線的性質(zhì)以及矩形的判定定理即可作出判斷；
（3）在直角△OCE中，利用三角函數(shù)求得∠COE的度數(shù)，即可求得∠α的度數(shù)．

解答：解：（1）作CE⊥AB于點E．
在直角△OCE中，OE=OC•cos∠COA=

1

2

×6=3，
則CD=OA-OE=6-3=3；

（2）∠α=90°，CD與⊙O相切．
理由：當(dāng)∠α=90°，
則在四邊形OCDA中，∠COA=∠OAD=∠CDA=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；

（3）當(dāng)C的位置如左邊的圖時，在直角△OCE中，OC=6，CE=AD=3

2

，
∴sin∠COE=

3 2

6

=

2

2

，
∴∠COE=45°，
則∠α=45°，
當(dāng)C的位置如右圖時，∠COE=45°，
則∠α=180°-45°=135°．
故α=45°或α=135°．

點評：本題考查了三角函數(shù)以及切線的判定方法，正確對C的位置分成兩種情況進行討論是關(guān)鍵．