Question

如圖，已知△ABC中，∠C=∠ABC，以AB為直徑作⊙O交BC于D，DE⊥AC，垂足為E．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如果BC=10，CE=4，求直徑AB的長(zhǎng)．

Answer 1

解：
（1）方法一：DE與⊙O相切；
理由：連接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠BDO；
又∵∠C=∠ABC，
∴∠BDO=∠C；
∵DE⊥AC，
∴∠C+∠CDE=90°，
∴∠BDO+∠CDE=90°，
∴∠EDO=180°-（∠BDO+∠CDE）=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE與⊙O相切．
方法二：DE與⊙O相切；
理由：連接OD；
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠BDO；
又∵∠C=∠ABC，
∴∠C=∠BDO，
∴OD∥AC，
∴∠EDO=∠CED；
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠EDO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE與⊙O相切．

（2）方法一：連接AD；
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC；
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°；
∴AD⊥BC；
∴BD=CD=BC=5；
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°；
在Rt△CDE中，cosC=，
在Rt△ACD中，cosC=，
∴，
即；
∴AC=，
∴AB=．

方法二：連接AD．
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∴BD=CD=BC=5．
在Rt△CDE中，cosC=，
在Rt△ADB中，cos∠ABD=，
又∵∠C=∠ABC，
∴，
即；
∴AB=．

方法三：連接AD；
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∴CD=BC=5；
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠CDA；
又∵∠C=∠C，
∴△CED∽△CDA，
∴，即，
∴CA=；
∴AB=．

方法四：連接AD；
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC；
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∴BD=CD=BC=5；
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠ADB；
又∵∠C=∠ABC，
∴△CED∽△BDA，
∴，
即，
∴AB=．
分析：（1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)或平行線的性質(zhì)易得OD⊥DE，故DE與⊙O相切．
（2）本題方法較多，需連接AD，分析圖形，通過相似三角形的性質(zhì)或三角函數(shù)的定義求出AB的值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．要注意連接過切點(diǎn)的半徑與構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是圓中的常見輔助線．