Question

（2012•浙江一模）如圖1，在平面上，給定了半徑為r的⊙O，對于任意點P，在射線OP上取一點P′，使得OP•OP′=r²，這種把點P變?yōu)辄cP′的變換叫做反演變換，點P與點P′叫做互為反演點，⊙O稱為基圓．
（1）如圖2，⊙O內(nèi)有不同的兩點A、B，它們的反演點分別是A′、B′，則與∠A′一定相等的角是

（C）

（A）∠O         （B）∠OAB        （C）∠OBA           （D）∠B′
（2）如圖3，⊙O內(nèi)有一點M，請用尺規(guī)作圖畫出點M的反演點M′；（保留畫圖痕跡，不必寫畫法）．
（3）如果一個圖形上各點經(jīng)過反演變換得到的反演點組成另一個圖形，那么這兩個圖形叫做互為反演圖形．已知基圓O的半徑為r，另一個半徑為r₁的⊙C，作射線OC交⊙C于點A、B，點A、B關于⊙O的反演點分別是A′、B′，點M為⊙C上另一點，關于⊙O的反演點為M′．求證：∠A′M′B′=90°．

Answer 1

分析：（1）先證明△AOB∽△B′OA′，然后根據(jù)相似三角形的對應角相等可以推知∠A′=∠OBA；
（2）根據(jù)射影定理來找點M′；
（3）根據(jù)相似三角形△OMA∽△OA′M′的對應角相等推知∠OMA=∠OB′M′、根據(jù)相似三角形△OBM∽△OM′B′的對應角相等推知∠OMB=∠OM′B′，則∠OMA-∠OMB=∠OA′M′-∠OB′M′，∠BMA=∠A′M′B′，即∠A′M′B′=90°．

解答：解：（1）∵⊙O內(nèi)有不同的兩點A、B，它們的反演點分別是A′、B′，
∴

OA

OB′

=

OB

OA′

；
又∵∠O=∠O，
∴△AOB∽△B′OA′，
∴∠A′=∠OBA；
故答案是：（C）；

（2）過M作MN⊥OM交⊙O于點N，連ON．過N作NM'⊥ON交射線OM于點M'．點M'即為所求．如圖所示：


（3）證明：連BM、AM．
∵AB是⊙C直徑，
∴∠BMA=90°；
∵∠OA′M′是△A′M′B′的外角，
∴∠OA′M′-∠A′B′M′=∠A′M′B′；
∵點A、M關于⊙O的反演點分別是A′，M′．
∴OA•OA′=r²=OM•OM′，
∵∠O=∠O，
∴△OMA∽△OA′M′，
∴∠OMA=∠OA′M′，
同理：∠OMB=∠OB′M′，
由等式性質(zhì)知：∠OMA-∠OMB=∠OA′M′-∠OB′M′，
∴∠BMA=∠A′M′B′即∠A′M′B′=90°．

點評：本題考查了圓的綜合題．解題時涉及到的知識點有：相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等式的性質(zhì)等．