Question

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+=0有兩個不相等的實數(shù)根，k為正整數(shù)．

（1）求k的值；

（2）當(dāng)此方程有一根為零時，直線y=x+2與關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+2x+的圖象交于A、B兩點，若M是線段AB上的一個動點，過點M作MN⊥x軸，交二次函數(shù)的圖象于點N，求線段MN的最大值及此時點M的坐標；

（3）將（2）中的二次函數(shù)圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象x軸上方的部分組成一個“W”形狀的新圖象，若直線y=x+b與該新圖象恰好有三個公共點，求b的值．

Answer 1

【答案】（1）k為1，2；

（2）M的坐標為（-，）；

（3）b=1或b=．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)一元二次方程根的情況利用判別式與0的關(guān)系可以求出k的值；

（2）利用m先表示出M與N的坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式表示出MN的長度，根據(jù)二次函數(shù)的極值即可求出MN的最大長度和M的坐標；

（3）根據(jù)圖象的特點，分兩種情況討論，分別求出b的值即可．

試題解析：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．

∴．

∴k﹣1＜2．

∴k＜3．

∵k為正整數(shù)，

∴k為1，2．

（2）把x=0代入方程得k=1，此時二次函數(shù)為y=x2+2x，

此時直線y=x+2與二次函數(shù)y=x2+2x的交點為A（﹣2，0），B（1，3）

由題意可設(shè)M（m，m+2），其中﹣2＜m＜1，則N（m，m2+2m），

MN=m+2﹣（m2+2m）=﹣m2﹣m+2=﹣．

∴當(dāng)m=﹣時，MN的長度最大值為．

此時點M的坐標為（，）．

（3）當(dāng)y=x+b過點A時，直線與新圖象有3個公共點（如圖2所示），

把A（﹣2，0）代入y=x+b得b=1，

當(dāng)y=x+b與新圖象的封閉部分有一個公共點時，直線與新圖象有3個公共點．

由于新圖象的封閉部分與原圖象的封閉部分關(guān)于x軸對稱，所以其解析式為y=﹣x2﹣2x

∴有一組解，此時有兩個相等的實數(shù)根，

則所以b=，綜上所述b=1或b=．