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10.對于平面直角坐標(biāo)系 xOy中的點P(a,b),若點P′的坐標(biāo)為(a+k,ka+b)(其中k為常數(shù),且k≠0),則稱點P′為點P的“k屬派生點”. 例如:P(1,4)的“2屬派生點”為P′(1+42,2×1+4),即P′(3,6).
(1)點P(-1,-2)的“2屬派生點”P′的坐標(biāo)為(-2,-4);
(2)若點P在x軸的正半軸上,點P的“k屬派生點”為P'點,且△OPP′為等腰直角三角形,求k的值;
(3)已知點Q為二次函數(shù)y=x2+43x+16圖象上的一動點,點A在函數(shù)y=43x(x<0)的圖象上,且點A是點B的“3屬派生點”,當(dāng)線段B Q最短時,求Q點坐標(biāo).

分析 (1)根據(jù)“k屬派生點”的定義即可直接求解;
(2)首先利用k表示出P'的坐標(biāo),根據(jù)△OPP′為等腰直角三角形,確定P'的坐標(biāo),然后根據(jù)橫坐標(biāo)求得對應(yīng)的k的值,然后代入縱坐標(biāo)進(jìn)行檢驗即可;
(3)設(shè)B(a,b)根據(jù)派生點的定義表示出A的坐標(biāo),代入反比例函數(shù)y=43x的解析式即可得到a和b的關(guān)系,然后根據(jù)點Q在直線y=x2+43x+16圖象上,以及線段BQ最短,即可求得.

解答 解:(1)P(-1,-2)的“2屬派生點”是(-1+22,-2×1-2)即(-2,-4),
故答案是:(-2,-4);   
(2)P的“k屬派生點”為P'點的坐標(biāo)是(-1-2k,-k-2),
當(dāng)P'在第四象限,且OP=OP'時,P'的坐標(biāo)是(2,-1),-1-2k=2,解得:k=-23,此時-k-2=-43時,不符合條件;
當(dāng)P'在第二象限時,P'的坐標(biāo)是(-2,1),若-1-2k=-2,解得:k=2,此時-k-2=-4≠1,故不符合條件;
當(dāng)P是直角頂點時,若OP=PP',此時P'即把(2,-1)左平移1個單位長度,向下平移2個單位長度,則P'的坐標(biāo)是(1,-3).
則當(dāng)-1-2k=1時,k=-1,此時-k-2=-3,滿足條件;
同理,當(dāng)P的坐標(biāo)是(-3,-1),若-1-2k=-3時,k=1,此時-k-2=-1,此時滿足條件.
總之,k=±1;
(3)設(shè)B(a,b),
∵B的“3屬派生點”是A,
∴A(a3,3a+b
∵點A還在反比例函數(shù)y=43x的圖象上,
a33a+b=43
b3a2=12
b3a0
b3a=23
b=3a+23
∴B在直線l:y=3x+23上.
設(shè)直線l的平行線為y=3x+m
∵點Q在直線y=x2+43x+16②圖象上
聯(lián)立①②得x2+33x+16m=0,
由題意△=0 x1=x2=332時BQ最短,
此時點Q的坐標(biāo)為332194

點評 本題考查了反比例函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,正確理解題目中的新的定義,以及PQ最短的條件是關(guān)鍵.

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如圖(1)所示,點E為AD邊上任意一點,連接EO并延長與BC邊交于點F.
(1)小組成員甲發(fā)現(xiàn)“AE=CF”,請你完成證明;
(2)如圖(2),連接BE、DF,小組成員乙發(fā)現(xiàn)“四邊形BEDF的形狀一定是平行四邊形,當(dāng)AE的長為53時,四邊形BEDF是菱形”;
探究發(fā)現(xiàn):
受前面兩位組員的啟發(fā),小組成員丙與丁對圖形進(jìn)一步操作,將圖(2)中的△ABE與△CDF分別沿BE與DF進(jìn)行翻折,點A與點C分別落在矩形ABCD內(nèi)的點A′,C′處.
(3)如圖(3),連接A′D,BC′,發(fā)現(xiàn)“四邊形BA′DC′是平行四邊形”,請你證明這個結(jié)論;
(4)如圖(4),連接A′C′,A′C′有最小值嗎?若有,請你直接寫出AE的長;若沒有,請說明理由.

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