Question

O是邊長(zhǎng)為a的正多邊形的中心，將一塊半徑足夠長(zhǎng)，圓心角為α的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．
（1）若正多邊形為正三角形，扇形的圓心角α=120°，請(qǐng)你通過(guò)觀察或測(cè)量，填空：
①如圖1，正三角形ABC的邊被扇形紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為_(kāi)_______；
②如圖2，正三角形ABC的邊被扇形紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為_(kāi)_______；
（2）若正多邊形為正方形，扇形的圓心角α=90°時(shí)，①如圖3，正方形ABCD的邊被扇形紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為_(kāi)_______；
②如圖4，正方形ABCD的邊被扇形紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為多少？并給予證明；
（3）若正多邊形為正五邊形，如圖5，當(dāng)扇形紙板的圓心角α為_(kāi)_______時(shí)，正五邊形的邊被扇形紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度仍為定值a．
（4）一般地，將一塊半徑足夠長(zhǎng)的扇形紙板的圓心放在邊長(zhǎng)為a的正n邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．當(dāng)扇形紙板的圓心角為_(kāi)_______時(shí)，正n邊形的邊被扇形紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值a．

Answer 1

解：（1）①a；（1分）
②a；（2分）

（2）①a；（3分）
②正方形ABCD的邊被扇形紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為a．（4分）
理由：
證明：連接OA、OD
∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O為中心
∴OA=OD，∠OAM=∠ODN=45°
又∵∠AOD=∠POQ=90°
∴∠AOM+∠AOQ=90°∠DON+∠AOQ=90°
∴∠AOM=∠DON
∴△AOM≌△DON∴AM=DN
∴AM+AN=DN+AN=AD=a（8分）

（3）∵正五邊形的內(nèi)角為（5-2）×180°÷5=72°
∴當(dāng)扇形紙板的圓心角α為72°時(shí)，正五邊形的邊被扇形紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度仍為定值a．（10分）

（4）∵正多邊形的中心角為，
∴當(dāng)扇形紙板的圓心角為時(shí)，正n邊形的邊被扇形紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值a．（12分）
分析：（1）此類題目往往是圖形的位置變化但結(jié)論不變；
（2）連接OA、OD，根據(jù)四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O為中心得到OA=OD，∠OAM=∠ODN=45°再求得∠AOM=∠DON，從而證明△AOM≌△DON后得到AM=DN得到AM+AN=DN+AN=AD=a；
（3）利用正多邊形的內(nèi)角的求法求得正五邊形的內(nèi)角度數(shù)即可；
（4）圓心角等于正多邊形的中心角的度數(shù)時(shí)候有上述結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正多邊形的計(jì)算，應(yīng)利用全等把所求的線段和面積轉(zhuǎn)換為容易算出的線段和圖形的面積，注意類比方法的運(yùn)用．