Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，正方形OBAC的頂點A的坐標為（8，8），點D，E分別為邊AB，AC上的動點，且不與端點重合，連接OD，OE，分別交對角線BC于點M，N，連接DE，若∠DOE＝45°， 以下說法正確的是________（填序號）．

①點O到線段DE的距離為8；②△ADE的周長為16；③當DE∥BC時，直線OE的解析式為y＝x； ④以三條線段BM，MN，NC為邊組成的三角形是直角三角形．

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

如圖（見解析），過點O作于點G，，交AC延長線于點F，①先根據正方形的性質可得，從而可得，再根據角的和差可得，從而可得，然后根據三角形全等的判定定理與性質可得，，最后根據三角形全等的判定定理與性質即可得；②在①的基礎上可證，，再根據三角形全等性質可得，然后根據三角形的周長公式、等量代換即可得；③先根據平行線的性質可得，從而可得是等腰直角三角形，設，則，從而可得，然后在中利用勾股定理可求出x的值，從而可得點E的坐標，最后利用待定系數法求出直線OE的解析式即可；④設，先根據正方形的性質可得，從而可得，再根據相似三角形的判定與性質可得，然后代入化簡，利用勾股定理逆定理即可得．

如圖，過點O作于點G，，交AC延長線于點F

四邊形OBAC是正方形，點A的坐標為

，即

，即

在和中，

，

在和中，

，即

在和中，

即點O到線段DE的距離為8，說法①正確

由①已證：

同理可證：

則的周長為

即說法②正確

四邊形OBAC是正方形

是等腰直角三角形

，即

設，則，且

在中，由勾股定理得：，即

解得或（不符題設，舍去）

點E的坐標為

設直線OE的解析式為

將點代入得：，解得

則直線OE的解析式為，說法③錯誤

設，則

由正方形的性質得

，即

整理得

四邊形OBAC是正方形

，

，即

，即

在和中，

，即

整理得，即

由勾股定理逆定理可知，以三條線段為邊組成的三角形是直角三角形

則說法④正確

綜上，說法正確的是①②④

故答案為：①②④．