【題目】如圖,已知直線l及其兩側(cè)兩點(diǎn)A、B.
(1)在直線l上求一點(diǎn)O,使到A、B兩點(diǎn)距離之和最短;
(2)在直線l上求一點(diǎn)P,使PA=PB;
(3)在直線l上求一點(diǎn)Q,使l平分∠AQB.
【答案】
(1)解:連接AB,線段AB交直線l于點(diǎn)O,
∵點(diǎn)A、O、B在一條直線上,
∴O點(diǎn)即為所求點(diǎn);
(2)解:連接AB,分別以A、B兩點(diǎn)為圓心,以任意長為半徑作圓,兩圓相交于C、D兩點(diǎn),連接CD與直線l相交于P點(diǎn),連接BD、AD、BP、AP、BC、AC,
∵BD=AD=BC=AC,
∴△BCD≌△ACD,
∴∠BED=∠AED=90°,
∴CD是線段AB的垂直平分線,
∵P是CD上的點(diǎn),
∴PA=PB;
(3)解:作B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′,連接AB′交直線l與點(diǎn)Q,連接BQ,
∵B與B′兩點(diǎn)關(guān)于直線l對稱,
∴BD=B′D,DQ=DQ,∠BDQ=∠B′DQ,
∴△BDQ≌△B′DQ,
∴∠BQD=∠B′QD,即直線l平分∠AQB.
【解析】此題主要考查了基本作圖中線段垂直平分線的作法、兩點(diǎn)之間線段最短等知識,利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出P點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用線段垂直平分線的判定,掌握和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上即可以解答此題.
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