Question

已知：如圖1，在DE上取一點(diǎn)A，以AD、AE為正方形的一邊在同一側(cè)作正方形ABCD和正方形AEFG，連接DG、BE，則線(xiàn)段DG、BE之間滿(mǎn)足DG=BE且DG⊥BE；

根據(jù)所給圖形完成以下問(wèn)題的探索、證明和計(jì)算：
（1）如圖2，將正方形AEFG繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度，即∠BAG=α （0°＜α＜180°），那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由，若成立請(qǐng)給出證明．
（2）設(shè)正方形ABCD、AEFG的邊長(zhǎng)分別是3和2，線(xiàn)段BD、DE、EG、GB所圍成封閉圖形的面積為S．當(dāng)α變化時(shí)，S是否有最大值？若有，求出S的最大值及相應(yīng)的α值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得到△DAG≌△BAE（SAS），且AD、AB夾角為90°，所以△BAE是△DAG順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的．
（2）當(dāng)α=90°時(shí)，點(diǎn)E、點(diǎn)G分別在BA、DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，形成的圖形是一個(gè)等腰梯形BDEG，且面積最大，可以知道∠BAG=90°．
解答：解（1）∵四邊形ABCD、AEFG均為正方形，
∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE，
∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，
∴∠DAG=∠BAE，
①當(dāng)α≠90°時(shí)，在△DAG和△BAE中，
，
∴△DAG≌△BAE（SAS），
∴BE=DG，∠ADG=∠ABE，
設(shè)直線(xiàn)DG分別與直線(xiàn)BA、BE交于點(diǎn)M、N，
又∵∠AMD=∠BMN，∠ADG+∠AMD=90°，
∴∠ABE+∠BMN=90°，
∴∠BND=90°，
∴BE⊥DG，
②當(dāng)α=90°時(shí)，點(diǎn)E、點(diǎn)G分別在BA、DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，顯然BE=DG，且BE⊥DG．
（2）如圖2，當(dāng)α=90°時(shí)，點(diǎn)E、點(diǎn)G分別在BA、DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，形成的圖形是一個(gè)等腰梯形BDEG，
通過(guò)觀察比較可知，當(dāng)α=90°時(shí)，S有最大值，
S=×3×2×2+×2×2+×3×3=
∴當(dāng)S取得最大值時(shí)，α=90°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的判定性質(zhì)的運(yùn)用，三角形全等的判定即運(yùn)用，以及有一個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)正方形的對(duì)角線(xiàn)形成的圖形，其面積的最大值的問(wèn)題．解答本題時(shí)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)知識(shí)結(jié)合圖形分析是解答本題的關(guān)鍵．