Question

6．將面積為4的正方形ABCD與面積為8的正方形AEFG按圖①的位置放置，AD、AE在同一條直線上，AB、AG在同一條直線上．
（1）試判斷DG、BE的數(shù)量和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí)，求此時(shí)BE的長(zhǎng)；
（3）如圖3，將正方形ABCD繞點(diǎn)A繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段DG與線段BE將相交，交點(diǎn)為H，請(qǐng)直接寫出△GHE與△BHD面積之和的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)可證△ADG≌△ABE（SAS），因此可證得∠AGD=∠AEB，如圖1，延長(zhǎng)EB交DG于點(diǎn)H，然后由三角形的內(nèi)角和和直角三角形的兩銳角互余可證得結(jié)論；由正方形的性質(zhì)和等量代換可證△ADG≌△ABE（SAS），因此可證得DG=BE，
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DG交DG于點(diǎn)M，根據(jù)正方形的性質(zhì)可證得DM=AM=$\sqrt{2}$，然后根據(jù)勾股定理可求得GM的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得BE=DG=DM+GM．
（3）對(duì)于△EGH，點(diǎn)H在以EG為直徑的圓上，所以當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，△EGH的高最大，對(duì)于△BDH，點(diǎn)H在以BD為直徑的圓上，所以當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，△BDH的高最大，因此求出這時(shí)的面積，再相加即可．

解答 解：（1）DG=BE，DG⊥BE，如圖1，

四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形，
∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴DG=BE，∠AGD=∠AEB，
延長(zhǎng)EB交DG于點(diǎn)H，
△ADG中∠AGD+∠ADG=90°，
∴∠AEB+∠ADG=90°，
△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，
∴∠DHE=90°，
∴DG⊥BE，
∴DG=BE，DG⊥BE；
（2）四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，
∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，
∴∠DAG=∠BAE，
AD=AB，∠DAG=∠BAE，AG=AE，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴DG=BE，

如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DG交DG于點(diǎn)M，
∠AMD=∠AMG=90°
BD是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴∠MDA=45°，
∵面積為4的正方形ABCD與面積為8的正方形AEFG
∴AD=2，AE=2$\sqrt{2}$，
在Rt△AMD中，∠MDA=45°，
∴cos45°=$\frac{DM}{AD}$，
∴DM=$\sqrt{2}$，
∴AM=$\sqrt{2}$，
在Rt△AMG中，GM=$\sqrt{A{G}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∵DG=DM+GM=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴BE=DG=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
（3）面積的最大值為6．                   
如圖，

對(duì)于△EGH，點(diǎn)H在以EG為直徑的圓上，
所以當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，△EGH的高最大，
∴S_△EGH=$\frac{1}{2}$AG×AE=$\frac{1}{2}$×8=4，
對(duì)于△BDH，點(diǎn)H在以BD為直徑的圓上，
所以當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，△BDH的高最大，
∴S_△BDH=$\frac{1}{2}$AD×AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴△GHE與△BHD面積之和的最大值是4+2=6．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，全等三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是銳角三角函數(shù)的靈活運(yùn)用．