Question

【題目】如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，對(duì)稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B，并與x軸交于另一點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為P．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)Q，使△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在直線BC的下方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為m，△MBC的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（4）平行于BC的動(dòng)直線分別交△ABC的邊AC、AB與點(diǎn)D、E，將△ADE沿DE翻折，得到△FDE，設(shè)DE=x，△FDE與△ABC重疊部分的面積為y，直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=（2）（2，2）；（3）（）（4）y=

【解析】

試題分析：（1）先求出直線y=-3x+3與x軸交點(diǎn)A，與y軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=a（x-2）2+k，得到關(guān)于a，k的二元一次方程組，解方程組即可求解；

（2）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，m），對(duì)稱軸x=2交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE垂直于直線x=2于點(diǎn)E．在Rt△AQF與Rt△BQE中，用勾股定理分別表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+2，解方程求出m=2，即可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸上時(shí)，由NC與AC不垂直，得出AC為正方形的對(duì)角線，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性及正方形的性質(zhì)，得到M點(diǎn)與頂點(diǎn)P（2，-1）重合，N點(diǎn)為點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，此時(shí)，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，則四邊形AMCN為正方形，在Rt△AFN中根據(jù)勾股定理即可求出正方形的邊長．

（4）根據(jù)三角形的面積和相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)不同的范圍可列函數(shù)的解析式.

試題解析：（1）∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，∴A（1，0），B（0，3）．

又∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-3)，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（0，3），

∴3a=3，解得a=1，故拋物線的解析式為y=；

（2）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，e），對(duì)稱軸x=2交x軸于點(diǎn)T，過點(diǎn)B作BR垂直于直線x=2于點(diǎn)R．在Rt△AQT中，AQ2=AT2+QT2=1+e2，在Rt△BQR中，BQ2=BR2+RQ2=4+（3﹣e）2，

∵AQ=BQ，∴1+e2=4+（3﹣e）2，∴e=2，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）；

（3）過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，，M（m，）（0﹤m﹤3）,

N(m，-m+3)，MN=-m+3-（）=，∴S=，當(dāng)m=，此時(shí)M（）.

⑷依題意得△CBA面積為3，BC=.當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，AF⊥BC，且AF=，此時(shí)x=DE=，所以分種情況考慮，①當(dāng)0＜x≤時(shí)，△ADE≌△FDE，△ADE∽△ACB，而，計(jì)算得．②當(dāng)＜x＜時(shí)，連結(jié)AF交ED于K、交BC于G，EF交BC于H，DF交BC于I，由△ADE∽△ACB求得FK＝AK＝，F(xiàn)G＝，再由△FHI∽△FED得，∴．

∴y=

綜上所述，函數(shù)關(guān)系式為y=