Question

已知：如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC．
（1）若連接AM，則AM是否平分∠BAD？請你證明你的結(jié)論；
（2）線段DM與AM有怎樣的位置關系？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點M作ME⊥AD，垂足為E，先求出ME=MC，再求出ME=MB，從而證明AM平分∠DAB；
（2）利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得∠1+∠3=90°，所以兩直線垂直．

解答：解：（1）AM平分∠DAB，理由為：
證明：過點M作ME⊥AD，垂足為E，
∵DM平分∠ADC，
∴∠1=∠2，
∵MC⊥CD，ME⊥AD，
∴ME=MC（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），
又∵MC=MB，∴ME=MB，
∵MB⊥AB，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB（到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）．

（2）AM⊥DM，理由如下：
∵∠B=∠C=90°，
∴DC⊥CB，AB⊥CB，
∴CD∥AB（垂直于同一條直線的兩條直線平行），
∴∠CDA+∠DAB=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）
又∵∠1=

1

2

∠CDA，∠3=

1

2

∠DAB（角平分線定義）
∴2∠1+2∠3=180°，∴∠1+∠3=90°，
∴∠AMD=90度．即AM⊥DM．

點評：本題主要考查了垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等的性質(zhì)和它的逆定理，及平行線的性質(zhì)．正確作出輔助線是解答本題的關鍵．