Question

已知反比例函數(shù)y1=

k

x

和二次函數(shù)y₂=-x²+bx+c的圖象都過點(diǎn)A（-1，2）
（1）求k的值及b、c的數(shù)量關(guān)系式（用c的代數(shù)式表示b）；
（2）若兩函數(shù)的圖象除公共點(diǎn)A外，另外還有兩個公共點(diǎn)B（m，1）、C（1，n），試在如圖所示的直角坐標(biāo)系中畫出這兩個函數(shù)的圖象，并利用圖象回答，x為何值時，y₁＜y₂；
（3）當(dāng)c值滿足什么條件時，函數(shù)y₂=-x²+bx+c在x≤-

1

2

的范圍內(nèi)隨x的增大而增大？

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入兩函數(shù)的解析式中即可得出k的值，以及b與c的數(shù)量關(guān)系．
（2）在（1）中已得出了反比例函數(shù)的解析式，那么可根據(jù)B，C兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)上可求出B，C的坐標(biāo)，然后根據(jù)B，C的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．進(jìn)而可根據(jù)兩函數(shù)的解析式來得出函數(shù)的圖形，以及y₁＜y₂時，x的取值范圍．
（3）由于拋物線開口向下，因此對稱軸左邊，拋物線上的點(diǎn)都是隨x的增大而增大，那么對稱軸-

b

2a

≤-

1

2

，然后再根據(jù)（1）中b，c的大小關(guān)系即可求出c的取值范圍．

解答：解：（1）將A（-1，2）代入反比例函數(shù)y1=

k

x

中，
可得k=（-1）×2=-2，
將A（-1，2）代入二次函數(shù)y₂=-x²+bx+c
可得2=-1-b+c，
即b=c-3．

（2）由題意可知，B的坐標(biāo)為（-2，1），C的坐標(biāo)為（1，-2）．
反比例函數(shù)的解析式為y₁=-

2

x

，
拋物線的解析式為y₂=-x²-2x+1．

（3）如圖：
由圖可知：當(dāng)-2＜x＜-1和0＜x＜1時，y₁＜y₂．
即-

b

2a

≤-

1

2

，-

c-3

-2

≤-

1

2

，
解得c≤2．

點(diǎn)評：本題主要考查了反比例函數(shù)和二次函數(shù)的綜合知識，利用條件來確定b，c的值或數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．