Question

19．由兩條長(zhǎng)度分別為a和b的鐵絲分別圍成一個(gè)正三角形和一個(gè)正六邊形，若它們的面積相等，則$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分別設(shè)出邊長(zhǎng)并表示出面積后即可利用面積相等得到答案．

解答 解：由題意可得正三角形的邊長(zhǎng)為$\frac{a}{3}$，則正六邊形的邊長(zhǎng)為$\frac{6}$；
（1）過(guò)A作AD⊥BC于D，則∠BAD=30°，

AD=AB•cos30°=$\frac{a}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}a}{6}$a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×$\frac{a}{3}$×$\frac{\sqrt{3}a}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{36}$a²；
（2）連接OA、OB，過(guò)O作OD⊥AB；

∵∠AOB=$\frac{360°}{6}$=60°，
∴∠AOD=30°，
OD=$\frac{AD}{tan30°}$=$\frac{\frac{12}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}b}{12}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×$\frac{6}$×$\frac{\sqrt{3}b}{12}$=$\frac{\sqrt{3}}{144}$b²，
∴S_六邊形=6S_△OAB=6×$\frac{\sqrt{3}}{144}$b²=$\frac{\sqrt{3}}{24}$b²，
∵S_△ABC=S_六邊形
∴$\frac{\sqrt{3}}{36}$a²=$\frac{\sqrt{3}}{24}$b²，
解得：$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正三角形及正六邊形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合正多邊形的性質(zhì)解答．