Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于E，連接DE，BE，BD，AE．

（1）求證：∠C=∠BED；

（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的長；

（3）如果DE∥AB，AB=10，求四邊形AEDB的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據切線性質、垂直的性質、直角三角形的兩個銳角互余的性質求得∠C+∠AOC=∠AOC+∠BAD=90°，即∠C=∠BAD；然后由圓周角定理推知∠BED=∠BAD；最后由等量代換證得∠C=∠BED；

（2）根據銳角三角函數的定義求AC的長；

（3）根據已知條件推知AE=BD=DE，然后由圓的弧、弦、圓心角間的關系知，從而求得∠BAD=30°；然后由直徑AB所對的圓周角∠ADB=90°可以求得直角三角形ABD中30°所對的直角邊是斜邊的一半BDAB=5，DE=5；最后（過點D作DH⊥AB于H）在直角三角形HDA中求得高線DH的長度，從而求得梯形ABDE的面積．

（1）∵AB是⊙O的直徑，CA切⊙O于A，∴∠C+∠AOC=90°；

又∵OC⊥AD，∴∠OFA=90°，∴∠AOC+∠BAD=90°，∴∠C=∠BAD．

又∵∠BED=∠BAD，∴∠C=∠BED．

（2）由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD，∴tan∠C．

在Rt△OAC中，tan∠C，且OAAB=5，∴，解得：．

（3）∵OC⊥AD，∴，∴AE=ED．

又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴，∴AE=BD，∴AE=BD=DE，∴，∴∠BAD=30°．

又∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴BDAB=5，DE=5．在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD，過點D作DH⊥AB于H．

∵∠HAD=30°，∴DHAD，∴四邊形AEDB的面積．