Question

如圖，△ABC的面積為1，分別取AC、BC兩邊的中點A₁、B₁，則四邊形A₁ABB₁的面積為

3

4

，再分別取A₁C、B₁C的中點A₂、B₂，A₂C、B₂C的中點A₃、B₃，依次取下去…．利用這一圖形，能直觀地計算出

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

=（　�。�

• A、1
• B、

  4n-1

  4n

• C、

  4n+1

  4n

• D、1-

  1

  4n

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：規(guī)律型

分析：由△CA₁B₁∽△CAB得出面積比等于相似比的平方，得出△CA₁B₁的面積為

1

4

，因此四邊形A₁ABB₁的面積為1-

1

4

，以此類推．四邊形的面積為

1

4

-

1

42

，

1

42

-

1

43

，…，根據(jù)規(guī)律求出式子的值．

解答：解：∵A₁、B₁分別是AC、BC的中點，
∴A₁B₁是△ABC的中位線，
∴A₁B₁∥AB，A1B1=

1

2

AB，
∴△A₁B₁C∽△ABC，
∴

S△A1B1C

S△ABC

=(

A1B1

AB

)2=

1

4

，
∵S_△ABC=1，
∴S△A1B1C=

1

4

，S四邊形A1ABB1=1-

1

4

=

3

4

，
同理得：

3

42

=

1

4

-

1

42

，

3

43

=

1

42

-

1

43

，…，

3

4n

=

1

4n-1

-

1

4n

，
∴

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

=1-

1

4

+

1

4

-

1

42

+

1

42

-

1

43

+…+

1

4n-1

-

1

4n

=1-

1

4n

；
故選：D

點評：本題考查了三角形中位線定理和相似三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形面積比等于相似比的平方是關(guān)鍵．