Question

如圖，以矩形ABCD的邊CD為直徑作⊙O，交矩形的對角線BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC邊的中點(diǎn)，連接EF．
（1）試判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若DC=2，EF=，P是⊙O上除E、C兩點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，則∠EPC的度數(shù)為______．

Answer 1

解：（1）直線EF與⊙O相切．理由如下：
如圖，連接OE、OF．
∵OD=OE，
∴∠1=∠D．
∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是DC的中點(diǎn)，
∴OF∥BD，
∴∠3=∠D，∠2=∠1，
∴∠2=∠3．
∴在△EFO與△CFO中，，
∴△EFO≌△CFO（SAS），
∴∠FEO=∠FCO=90°，
∴直線EF與⊙O相切．

（2）如圖，連接DF．
∵由（1）知，△EFO≌△CFO，
∴FC=EF=．
∴BC=2
在直角△FDC中，tan∠D==，
∴∠D=60°．
∵點(diǎn)E、P、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠EPC+∠D=180°，
∴∠EPC=120°．
故填：120°．
分析：（1）直線EF與⊙O相切．理由如下：如圖，連接OE、OF．通過△EFO≌△CFO（SAS），證得∠FEO=∠FCO=90°，則直線EF與⊙O相切．
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠EPC+∠D=180°，利用（1）中的全等三角形的對應(yīng)邊相等求得FC=EF=，所以通過解直角△BCD來求∠D的度數(shù)即可．
點(diǎn)評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．