【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)D在邊AB上,連接CD,將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至CE位置,連接AE.
(1)求證:AB⊥AE;
(2)若BC2=ADAB,求證:四邊形ADCE為正方形.
【答案】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE=90°,CD=CE,利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE,然后根據(jù)“SAS”可判斷△BCD≌△ACE,則∠B=∠CAE=45°,所以∠DAE=90°,即可得到結(jié)論。
(2)由于BC=AC,則AC2=ADAB,根據(jù)相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB,則∠CDA=∠BCA=90°,可判斷四邊形ADCE為矩形,利用CD=CE可判斷四邊形ADCE為正方形。
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE=90°,CD=CE,利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE,然后根據(jù)“SAS”可判斷△BCD≌△ACE,則∠B=∠CAE=45°,所以∠DAE=90°,即可得到結(jié)論。
(2)由于BC=AC,則AC2=ADAB,根據(jù)相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB,則∠CDA=∠BCA=90°,可判斷四邊形ADCE為矩形,利用CD=CE可判斷四邊形ADCE為正方形。
證明:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠B=∠BAC=45°。
∵線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至CE位置,∴∠DCE=90°,CD=CE。
∵∠ACB=90°,∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD,即∠BCD=∠ACE。
∵在△BCD和△ACE中,,
∴△BCD≌△ACE(SAS)。∴∠B=∠CAE=45°。
∴∠BAE=45°+45°=90°。∴AB⊥AE。
(2)∵BC2=ADAB,BC=AC,∴AC2=ADAB。∴。
∵∠DAC=∠CAB,∴△DAC∽△CAB。∴∠CDA=∠BCA=90°。
∵∠DAE=90°,∠DCE=90°,∴四邊形ADCE為矩形。
∵CD=CE,∴四邊形ADCE為正方形。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,2)且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,其中-2<x1<-1,0<x2<1,下列結(jié)論:①b<0;②a+b+c<0;③4a-2b+c<0;④2a-b<0,其中正確的有______.(填代號(hào))
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)y=(k>0,x>0)的圖象與直線y=2x﹣2交于點(diǎn)Q(2,m).
(1)求m,k的值;
(2)已知點(diǎn)P(a,0)(a>0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線,交直線y=2x﹣2于點(diǎn)M,交函數(shù)y=的圖象于點(diǎn)N.
①當(dāng)a=4時(shí),求MN的長(zhǎng);
②若PM>PN,結(jié)合圖象,直接寫(xiě)出a的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在筆直的公路旁有一座山,為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路上的處開(kāi)鑿隧道修通一條公路到處,已知點(diǎn)與公路上的?空的距離為,與公路上另-?空的距離為,?空之間的距離為,且
求修建的公路的長(zhǎng);
若公路修通后,輛貨車從處經(jīng)過(guò)點(diǎn)到處的路程是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=2,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),其部分圖象如圖所示,下列結(jié)論:①拋物線過(guò)原點(diǎn);②4a+b+c=0;③a﹣b+c<0;④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,b);⑤當(dāng)x<2時(shí),y隨x增大而增大.其中結(jié)論正確的有______________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是將拋物線y=-x2 平移后得到的拋物線,其對(duì)稱軸為x=1,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0) ,另一交點(diǎn)為B,與y軸交點(diǎn)為C.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)N 為拋物線上一點(diǎn),且BC⊥NC,求點(diǎn)N的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)Q是一次函數(shù)y=x+的圖象上一點(diǎn),若四邊形OAPQ為平行四邊形,這樣的點(diǎn)P、Q是否存在?若存在,分別求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.
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【題目】合肥三十八中為預(yù)防秋季疾病傳播,對(duì)教室進(jìn)行“薰藥消毒”.已知藥物在燃燒釋放過(guò)程中,室內(nèi)空氣中每立方米含藥量(毫克)與燃燒時(shí)間(分鐘)之間的關(guān)系如圖所示(即圖中線段和雙曲線在點(diǎn)及其右側(cè)的部分),根據(jù)圖象所示信息,解答下列問(wèn)題:
(1)寫(xiě)出從藥物釋放開(kāi)始,與之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍;
(2)據(jù)測(cè)定,只有當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于毫克時(shí),對(duì)預(yù)防才有作用,且至少持續(xù)作用分鐘以上,才能完全殺死這種病毒,請(qǐng)問(wèn)這次消毒是否徹底?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)的部分圖象如圖所示,圖象過(guò)點(diǎn),對(duì)稱軸為直線,下列結(jié)論: ; ; ; 若點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)在該函數(shù)圖象上,則; 若方程的兩根為和,且,則其中正確的結(jié)論是______.
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【題目】當(dāng)k取不同的值時(shí),y關(guān)于x的函數(shù)y=kx+2(k≠0)的圖象為總是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)的直線,我們把所有這樣的直線合起來(lái),稱為經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)的“直線束”.那么,下面經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣1,2)的直線束的函數(shù)式是( 。
A. y=kx﹣2(k≠0) B. y=kx+k+2(k≠0)
C. y=kx﹣k+2(k≠0) D. y=kx+k﹣2(k≠0)
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