Question

如圖，拋物線交x軸的正半軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，將此拋物線向右平移4個(gè)單位得拋物線y₂，兩條拋物線相交于點(diǎn)C．

（1）請(qǐng)直接寫出拋物線y₂的解析式；

（2）若點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠CPA=∠OBA，求出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在第四象限內(nèi)拋物線y₂上，是否存在點(diǎn)Q，使得△QOC中OC邊上的高h(yuǎn)有最大值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及h的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）拋物線向右平移4個(gè)單位的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，－1），

∴拋物線y₂的解析式為。

（2）當(dāng)x=0時(shí)，y₁=﹣1，y₁=0時(shí)，=0，解得x=1或x=－1，

       ∴點(diǎn)A（1，0），B（0，－1）。∴∠OBA=45⁰。

聯(lián)立，解得。

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3）。

∵∠CPA=∠OBA，

∴點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊時(shí)，坐標(biāo)為（－1，0）；在點(diǎn)A的右邊時(shí)，坐標(biāo)為（5，0）。

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－1，0）或（5，0）。

（3）存在。

∵點(diǎn)C（2，3），∴直線OC的解析式為，

設(shè)與OC平行的直線，

聯(lián)立，消掉y得，，

當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，△QOC中OC邊上的高h(yuǎn)有最大值，

此時(shí)，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，

∴此時(shí)，。

∴存在第四象限的點(diǎn)Q（，），使得△QOC中OC邊上的高h(yuǎn)有最大值，

此時(shí)，解得。

∴過點(diǎn)Q與OC平行的直線解析式為。

令y=0，則，解得。

設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為E，則E（，0）。

過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，

根據(jù)勾股定理，，

則由面積公式，得，即。

∴存在第四象限的點(diǎn)Q（，），使得△QOC中OC邊上的高h(yuǎn)有最大值，最大值為。

【解析】（1）寫出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式解析式寫出即可。

（2）根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后求出∠OBA=45°，再聯(lián)立兩拋物線解析式求出交點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)∠CPA=∠OBA分點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊和右邊兩種情況求解。

（3）先求出直線OC的解析式為y=x，設(shè)與OC平行的直線y=x+b，與拋物線y₂聯(lián)立消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)與OC的距離最大時(shí)方程有且只有一個(gè)根，然后利用根的判別式△=0列式求出b的值，從而得到直線的解析式，再求出與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，得到OE的長(zhǎng)度，再過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，然后根據(jù)面積公式求解即可得到h的值。