Question

15．已知正六邊形ABCDEF的對角線DF與對角線AE、CE分別交于點G和H，求證：FG=GH=HD．

Answer 1

分析 由正六邊形的性質(zhì)得出AF=EF=DE=CD，∠AFE=∠DEF=∠CDE=120°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠GEF=∠GFE=∠HED=∠HDE=30°，得出FG=EG，HD=HE，由三角形的外角性質(zhì)得出∠EGH=∠EHG=60°，證出△EGH是等邊三角形，得出GH=EG=HE，即可得出結(jié)論．

解答 證明：如圖所示：
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴AF=EF=DE=CD，∠AFE=∠DEF=∠CDE=120°，
∴∠GEF=∠GFE=∠HED=∠HDE=30°，
∴FG=EG，HD=HE，∠EGH=30°+30°=60°，
同理：∠EHG=60°，
∴∠GEH=60°=∠EGH=∠EHG，
∴△EGH是等邊三角形，
∴GH=EG=HE，
∴FG=GH=HD．

點評 本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，證明△EGH是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．