Question

15．已知拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）經(jīng)過點A（-3，0）、B（1，0），且與y軸交于點C，設(shè)拋物線的頂點為D．
（1）求點C、D的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；
（2）當(dāng)a變化時，△ACD能否為直角三角形？若能？求出所有符合條件的a的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以假設(shè)拋物線為y=a（x+3）（x-1）即可求出點C、D坐標(biāo)．
（2）分兩種情形討論①∠ADC=90°②∠ACD=90°利用勾股定理列出方程求解．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）經(jīng)過點A（-3，0）、B（1，0），
∴可以假設(shè)拋物線為y=a（x+3）（x-1）=a（x²+2x-3）=a（x+1）²-4a，
∴頂點D（-1，-4a），
令x=0得y=-3a，得點C（0，-3a），
∴點C（0，-3a），點D（-1，-4a）．
（2）①若∠ADC=90°則有AC²=AD²+DC²，
∴9+9a²=4+16a²+1+a²，
∴a²=$\frac{1}{2}$，
∵a＜0，
∴a=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
②若∠DCA=90°則有AD²=AC²+CD²，
∴4+16a²=9+9a²+1+a²，
∴a²=1，
∵a＜0，
∴a=-1，
綜上所述a=-1或-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查拋物線的解析式的三種形式、勾股定理、分類討論的數(shù)學(xué)思想，靈活掌握拋物線的三種形式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．