Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），已知拋物線y=x²+bx+c過點(diǎn)A（4，0），B（1，﹣3）．

（1）求b，c的值，并寫出該拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線l，點(diǎn)P（m，n）是拋物線上在第一象限的點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于y軸對(duì)稱，若四邊形OAPF的面積為48，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，設(shè)M是直線l上任意一點(diǎn)，試判斷MP+MA是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值及相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c過點(diǎn)A（4，0），B（1，﹣3），

∴．

解得：．

∴y=x²﹣4x=（x﹣2）²﹣4．

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2，頂點(diǎn)為（2，﹣4）．

（2）如圖1，

∵點(diǎn)P（m，n）與點(diǎn)E關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4﹣m，n）．

∵點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m﹣4，n）．

∴PF=m﹣（m﹣4）=4．

∴PF=OA=4．

∵PF∥OA，

∴四邊形OAPF是平行四邊形．

∵S_▱OAPF=OA•=4n=48，

∴n=12．

∴m²﹣4m=n=12．

解得：m₁=6，m₂=﹣2．

∵點(diǎn)P是拋物線上在第一象限的點(diǎn)，

∴m=6．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，12）．

（3）過點(diǎn)E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2，

在（2）的條件下，有P（6，12），E（﹣2，12），

則AH=4﹣（﹣2）=6，EH=12．

∵EH⊥x軸，即∠EHA=90°，

∴EA²=EH²+AH²=12²+6²=180．

∴EA=6．

∵點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于直線l對(duì)稱，

∴MP=ME．

∴MP+MA=ME+MA．

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得：

當(dāng)點(diǎn)E、M、A共線時(shí)，MP+MA最小，最小值等于EA的長(zhǎng)，即6．