如圖,已知雙曲線y=﹣與兩直線y=﹣x,y=﹣kx(k>0,且k≠)分別相交于A、B、C、D四點.
(1)當點C的坐標為(﹣1,1)時,A、B、D三點坐標分別是A( , ),B( , ),D( , ).
(2)證明:以點A、D、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形.
(3)當k為何值時,▱ADBC是矩形.
考點: 反比例函數(shù)綜合題;兩點間的距離公式;一次函數(shù)的應(yīng)用;平行四邊形的判定與性質(zhì);矩形的判定.
專題: 綜合題.
分析: (1)由C坐標,利用反比例函數(shù)的中心對稱性確定出D坐標,聯(lián)立雙曲線y=﹣與直線y=﹣x,求出A與B坐標即可;
(2)由反比例函數(shù)為中心對稱圖形,利用中心對稱性質(zhì)得到OA=OB,OC=OD,利用對角線互相平分的四邊形為平行四邊形即可得證;
(3)由A與B坐標,利用兩點間的距離公式求出AB的長,聯(lián)立雙曲線y=﹣與直線y=﹣kx,表示出CD的長,根據(jù)對角線相等的平行四邊形為矩形,得到AB=CD,即可求出此時k的值.
解答: 解:(1)∵C(﹣1,1),C,D為雙曲線y=﹣與直線y=﹣kx的兩個交點,且雙曲線y=﹣為中心對稱圖形,
∴D(1,﹣1),
聯(lián)立得:,
消去y得:﹣x=﹣,即x2=4,
解得:x=2或x=﹣2,
當x=2時,y=﹣;當x=﹣2時,y=,
∴A(﹣2,),B(2,﹣);
故答案為:﹣2,,2,﹣,1,﹣1;
(2)∵雙曲線y=﹣為中心對稱圖形,且雙曲線y=﹣與兩直線y=﹣x,y=﹣kx(k>0,且k≠)分別相交于A、B、C、D四點,
∴OA=OB,OC=OD,
則以點A、D、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形;
(3)若▱ADBC是矩形,可得AB=CD,
聯(lián)立得:,
消去y得:﹣=﹣kx,即x2=,
解得:x=或x=﹣,
當x=時,y=﹣;當x=﹣時,y=,
∴C(﹣,),D(,﹣),
∴CD==AB==,
整理得:(4k﹣1)(k﹣4)=0,
k1=,k2=4,
又∵k≠,∴k=4,
則當k=4時,▱ADBC是矩形.
點評: 此題屬于反比例函數(shù)綜合題,涉及的知識有:坐標與圖形性質(zhì),一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點,平行四邊形,矩形的判定,兩點間的距離公式,以及中心圖形性質(zhì),熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,PA為⊙O的切線,點A為切點,直線PO交⊙O于點E,F(xiàn),過點A作PO的垂線AB,垂足為點C,交⊙O于點B,延長BO與⊙O交于點D,連接AD,連接BE,
(1)求證:直線PB為⊙O的切線,
(2)試探究線段EF,OP,OC之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明,
(3)若BC=9,tan∠E=,求cos∠ADB的值和線段PE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,某天早晨王老師沿⊙M的半圓形M→A→B→M路徑勻速散步,此時王老師離出發(fā)點M的距離y與時間x之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是( 。
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,等邊三角形ABC中,AB=3,點D,E分別在AB,AC上,且DE∥BC,沿直線DE折疊△ABC,當點A的對應(yīng)點A′與△ABC的中心O重合時,折痕DE的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
把下列各數(shù)填在相應(yīng)的表示集合的大括號里:
﹣,12,﹣(﹣96),﹣|﹣3|,﹣4.5,0,|﹣2.5|,
(1)正整數(shù)集合{ …}
(2)整數(shù)集合 { …}
(3)正分數(shù)集合{ …}
(4)負分數(shù)集合{ …}.
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