Question

如圖，已知雙曲線y=﹣與兩直線y=﹣x，y=﹣kx（k＞0，且k≠）分別相交于A、B、C、D四點．

（1）當點C的坐標為（﹣1，1）時，A、B、D三點坐標分別是A（　 　，　 　），B（ 　，　　），D（　 　，　 　）．

（2）證明：以點A、D、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形．

（3）當k為何值時，▱ADBC是矩形．

Answer 1

 

考點： 反比例函數(shù)綜合題；兩點間的距離公式；一次函數(shù)的應(yīng)用；平行四邊形的判定與性質(zhì)；矩形的判定． 

專題： 綜合題．

分析： （1）由C坐標，利用反比例函數(shù)的中心對稱性確定出D坐標，聯(lián)立雙曲線y=﹣與直線y=﹣x，求出A與B坐標即可；

（2）由反比例函數(shù)為中心對稱圖形，利用中心對稱性質(zhì)得到OA=OB，OC=OD，利用對角線互相平分的四邊形為平行四邊形即可得證；

（3）由A與B坐標，利用兩點間的距離公式求出AB的長，聯(lián)立雙曲線y=﹣與直線y=﹣kx，表示出CD的長，根據(jù)對角線相等的平行四邊形為矩形，得到AB=CD，即可求出此時k的值．

解答： 解：（1）∵C（﹣1，1），C，D為雙曲線y=﹣與直線y=﹣kx的兩個交點，且雙曲線y=﹣為中心對稱圖形，

∴D（1，﹣1），

聯(lián)立得：，

消去y得：﹣x=﹣，即x²=4，

解得：x=2或x=﹣2，

當x=2時，y=﹣；當x=﹣2時，y=，

∴A（﹣2，），B（2，﹣）；

故答案為：﹣2，，2，﹣，1，﹣1；

 

（2）∵雙曲線y=﹣為中心對稱圖形，且雙曲線y=﹣與兩直線y=﹣x，y=﹣kx（k＞0，且k≠）分別相交于A、B、C、D四點，

∴OA=OB，OC=OD，

則以點A、D、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形；

 

（3）若▱ADBC是矩形，可得AB=CD，

聯(lián)立得：，

消去y得：﹣=﹣kx，即x²=，

解得：x=或x=﹣，

當x=時，y=﹣；當x=﹣時，y=，

∴C（﹣，），D（，﹣），

∴CD==AB==，

整理得：（4k﹣1）（k﹣4）=0，

k₁=，k₂=4，

又∵k≠，∴k=4，

則當k=4時，▱ADBC是矩形．

點評： 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，平行四邊形，矩形的判定，兩點間的距離公式，以及中心圖形性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．