Question

5．如圖，點(diǎn)A（0，a），B（b，0）分別在y軸正半軸、x軸正半軸上，C為AB的中點(diǎn)，a，b滿足a²-2ab+b²=-|b-4|．
（1）寫出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷△AOB的形狀；
（2）若一直角三角板直角頂點(diǎn)與C重合，兩邊分別交OA，OB交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求OE+OF的值．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)²-2ab+b²=-|b-4|化為（a-b）²+|b-4|=0，得到a=b=4，從而得出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，也得到OA=OB=4，即可證得結(jié)論；
（2）作MC⊥y軸于M，作NC⊥x軸于N，C為AB的中點(diǎn)，可得MC=CN，在證得△MCE≌△NCF，于是證出ME=NF，于是有OE+OF=OM-ME+ON+NF=OM+ON=2+2=4．

解答 解：（1）∵a²-2ab+b²=-|b-4|，
∴（a-b）²+|b-4|=0，
∴a=b=4，
∴A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)A（0，4），B（4，），
∴OA=OB=4，
∵AO⊥BO，
∴△AOB是等腰直角三角形；

（2）作MC⊥y軸于M，作NC⊥x軸于N，如圖所示：
∵C為AB的中點(diǎn)，
則MC=CN=$\frac{1}{2}BC$=2，四邊形OMCN是正方形，∠EMC=∠CNF=90°，
∴OM=ON=MC=CN=2，∠MCN=90°，
∵∠ECF=90°，
∴∠MCE=∠FCN，
在△MCE和△NCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCE=∠FCN}\\{∠CME=∠CNF}\\{CM=CN}\end{array}\right.$，
∴△MCE≌△NCF，
∴ME=NF，
∴OE+OF=OM-ME+ON+NF=OM+ON=2+2=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)；通過作輔助線得出正方形和三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．