Question

10．已知兩個一次函數(shù)y₁=$\frac{a}{2}$x+2-a和y₂=-$\frac{2}{{a}^{2}}$x+2+$\frac{4}{{a}^{2}}$．
（1）點(diǎn)（2，2）是否在這兩個一次函數(shù)的圖象上？為什么？
（2）當(dāng)a=2時(shí)，求這兩個一次函數(shù)圖象與x軸所圍成的三角形的面積；
（3）當(dāng)a滿足0＜a＜2時(shí)，求這兩個一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的四邊形面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）將x=2代入兩個函數(shù)解析式求出y的值，看是否等于2，即可判斷．
（2）求出兩個函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，以及兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)即可解決問題．
（3）畫出圖形，用分割法求面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決這種問題．

解答 解：（1）點(diǎn)（2，2）在這兩個一次函數(shù)的圖象上．
理由：∵x=2時(shí)，y₁=$\frac{a}{2}$×2+2-a=2，y₂=-$\frac{2}{{a}^{2}}$×2+2+$\frac{4}{{a}^{2}}$=2，
∴點(diǎn)（2，2）在這兩個一次函數(shù)的圖象上．
（2）a=2，y₁=x由x軸交于點(diǎn)（0，0），y₂=-$\frac{1}{2}$x+3與x軸交于點(diǎn)（6，0）．
∵（2，2，）是這兩個一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，
∴這兩個一次函數(shù)圖象與x軸所圍成的三角形的面積為：$\frac{1}{2}$×6×2=6．
（3）如圖所示，

∵A（2，2），B（a²+2，0），C（0，2-a），
∴這兩個一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的四邊形面積S=S_△AOC+S_△AOB=$\frac{1}{2}$×（2-a）×2+$\frac{1}{2}$×（a²+2）×2=a²-a+4=（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{15}{4}$，
∴a=$\frac{1}{2}$時(shí)，S最小值=$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查兩條直線相交、平行、一次函數(shù)、二次函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是理解點(diǎn)（2，2）是兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)，學(xué)會利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決這種問題，屬于中考�？碱}型．