Question

19．如圖，AB是半圓O的直徑，AB=10，過點(diǎn)A的直線交半圓于點(diǎn)C，且AC=6，連結(jié)BC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)．已知點(diǎn)E在射線CA上，△CDE與△ACB相似，則線段CE的長為3或$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，則利用勾股定理得到計(jì)算出BC，則CD=4，由于∠ACB=∠ECD，根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)$\frac{CE}{CA}$=$\frac{CD}{CB}$時，△CED∽△CAB；當(dāng)$\frac{CE}{CB}$=$\frac{CD}{CA}$時，△CED∽△CBA；然后利用相似比分別計(jì)算出對應(yīng)的CE的長．

解答 解：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴CD=4，
∵∠ACB=∠ECD，
∴當(dāng)$\frac{CE}{CA}$=$\frac{CD}{CB}$時，△CED∽△CAB，即$\frac{CE}{6}$=$\frac{4}{8}$，解得CE=3；
當(dāng)$\frac{CE}{CB}$=$\frac{CD}{CA}$時，△CED∽△CBA，即$\frac{CE}{8}$=$\frac{4}{6}$，解得CE=$\frac{16}{3}$．
綜上所述，CE的長為3或$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．也考查了圓周角定理．