Question

【題目】已知正方形ABCD與正方形CEFG，M是AF的中點(diǎn)，連接DM，EM．

（1）如圖1，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)判斷DM，EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并直接寫(xiě)出結(jié)論；

（2）如圖2，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G在BC上，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）DM⊥EM，DM＝EM，見(jiàn)解析；（2）DM⊥EM，DM＝EM，見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出MH=ME，AH=EF=EC，推出DH=DE，因?yàn)椤?/span>EDH=90°，可得DM⊥EM，DM=ME；

（2）結(jié)論不變，延長(zhǎng)EM交DA的延長(zhǎng)線于H，由正方形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，得到邊和角的關(guān)系，可以證明△AMH≌△FME，然后得到MH＝ME，AH＝EF＝EC，進(jìn)而得到結(jié)論.

解：（1）結(jié)論：DM⊥EM，DM＝EM．

理由：如圖1中，延長(zhǎng)EM交AD于H．

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，

∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，

∴AD∥EF，

∴∠MAH＝∠MFE，

∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，

∴△AMH≌△FME（AAS），

∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，

∴DH＝DE，

∵∠EDH＝90°，

∴DM⊥EM，DM＝ME；

（2）如圖2中，結(jié)論不變．DM⊥EM，DM＝EM．

理由：如圖2中，延長(zhǎng)EM交DA的延長(zhǎng)線于H．

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，

∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，

∴AD∥EF，

∴∠MAH＝∠MFE，

∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，

∴△AMH≌△FME，

∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，

∴DH＝DE，

∵∠EDH＝90°，

∴DM⊥EM，DM＝ME．