Question

如圖，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=8cm，直線CM⊥BC，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)C開始沿射線CB方向以每秒2厘米的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E也同時(shí)從點(diǎn)C開始在直線CM上以每秒1厘米的速度運(yùn)動(dòng)，連接AD、AE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)t為多少時(shí)，△ABD的面積為10cm²？
（3）當(dāng)t為多少時(shí)，△ABD≌△ACE，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由（可在備用圖中畫出具體圖形）．

Answer 1

分析：（1）運(yùn)用勾股定理直接求出；
（2）首先求出△ABD中BD邊上的高，然后根據(jù)面積公式列出方程，求出BD的值，分兩種情況分別求出t的值；
（3）假設(shè)△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出BD=CE，分別用含t的代數(shù)式表示CE和BD，得到關(guān)于t的方程，從而求出t的值．

解答：解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴2AB²=BC²，
∴AB=

BC

2

=4

2

cm；

（2）過(guò)A作AF⊥BC交BC于點(diǎn)F，則AF=

1

2

BC=4cm，
∵S_△ABD=10cm²
∴AF×BD=20，
∴BD=5cm．
若D在B點(diǎn)右側(cè)，則CD=3cm，t=1.5s；
若D在B點(diǎn)左側(cè)，則CD=13cm，t=6.5s．

（3）動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線CM方向運(yùn)動(dòng)2秒或當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線CM的反向延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)6秒時(shí)，△ABD≌△ACE．
理由如下：（說(shuō)理過(guò)程簡(jiǎn)要說(shuō)明即可）
①當(dāng)E在射線CM上時(shí)，D必在CB上，則需BD=CE．
∵CE=t，BD=8-2t
∴t=8-2t，
∴t=

8

3

，
證明：在△ABD和△ACE中
∵

AB=AC ∠B=∠ACE=45° BD=CE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②當(dāng)E在CM的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，D必在CB延長(zhǎng)線上，則需BD=CE．
∵CE=t，BD=2t-8，
∴t=2t-8，
∴t=8，
證明：在△ABD和△ACE中
∵

AB=BC ∠ABD=∠ACE=135° BD=CE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形、全等三角形的性質(zhì)及面積，綜合性強(qiáng)，題目難度適中．