Question

（2006•日照）如圖，已知拋物線與x軸交于A（m，0）、B（n，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，若m-n=-2，m•n=3．
（1）求拋物線的表達(dá)式及P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求△ACP的面積S_△ACP．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+3，根據(jù)韋達(dá)定理有m+n=-，mn=，然后聯(lián)立m-n=-2、mn=3即可求出a、b的值，也就能得出拋物線的解析式，根據(jù)拋物線的解析式可用配方法或公式法求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）設(shè)直線CP與x軸的交點(diǎn)為D，可求出直線CP的解析式進(jìn)而確定出D點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得AD的長(zhǎng)，然后將三角形ACP分成三角形ADC和APD兩部分進(jìn)行求解即可．
解答：解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線過(guò)C（0，3），
∴c=3，
又∵拋物線與x軸交于A（m，0）、B（n，0）兩點(diǎn)，
∴m、n為一元二次方程ax²+bx+3=0的解，
∴m+n=-，mn=，
由已知m-n=-2，m•n=3，
∴解之得a=1，b=-4；m=1，n=3，
∴拋物線的表達(dá)式為y=x²-4x+3，P點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，-1）

（2）由（1）知，拋物線的頂點(diǎn)P（2，-1），
設(shè)直線CP的解析式為y=kx+3，則有：
2k+3=-1，k=-2
∴直線CP的解析式為y=-2x+3．
設(shè)直線CP與x軸的交點(diǎn)為D，則有D（，0）
∴AD=-1=
∴S_△ACP=S_△ACD+S_△APD=×3×+×1×=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、韋達(dá)定理、圖形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)．