Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點(diǎn)，∠EPF=90°，PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F．給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=S△APC；④EF=AP．上述結(jié)論正確的有（　�。�

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】∵AB=AC，P是BC的中點(diǎn)，∠BAC=90°，
∴AP⊥BC，AP=BC=PC，

∴∠CPF+∠APF=90°，∠BAP=∠C=45°，

∵∠EPF=90°，∴∠APE+∠APF=90°，

∴∠APE=∠CPF，

在△APE和△CPF中，∵∠APE=∠CPF，AP=CP，∠BAP=∠C，

∴△APE≌△CPF，∴AE=CF，EP=FP，∴△EPF是等腰直角三角形，故①②正確；

∵△APE≌△CPF，∴S△APE=S△CPF，∴S四邊形AEPF=S△APF+S△APE=S△APF+S△CPF=S△APC，故③正確；

在等腰直角△EFP中，由勾股定理得EF=PE，則若要使EF=AP，則AP=PE，

而點(diǎn)E在AB上是可以變動(dòng)的，只有當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，AP=PE，故④錯(cuò)誤.

綜上所述，正確的結(jié)論有①②③共3個(gè)．

故選C．