Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上的一點(diǎn)，且CE=8，BC=12，CD=4，∠C=30°，∠B=60°．點(diǎn)P是線段BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（包括B、C兩點(diǎn)），設(shè)PB的長是x．
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形．
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．
（3）P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能否為菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖，分別過A、D作BC的垂線，垂足分別為F、G，容易得到AF=DG，AD=FG，而CD=4，∠C=30°，由此可以求出CG=6，DG=AF=2，又∠B=60°，BF=2，若點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，則∠APC=90°或∠DPC=90°，那么P與F重合或P與G重合，根據(jù)前面求出的長度即可求出此時(shí)的x的值；
（2）若以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，由于AD=BE=4，且AD∥BE，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，利用已知條件可以求出BP的長度；②當(dāng)點(diǎn)P在CE中點(diǎn)時(shí)，利用已知條件也可求出BP的長度；
（3）以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成菱形．由（1）（2）知，當(dāng)BP=0或8時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，根據(jù)已知條件分別計(jì)算一組鄰邊證明它們相等即可證明它是菱形．
解答：解：（1）分別過點(diǎn)A、D作BC的垂線，垂足分別為F、G．
∵∠C=30°，且CD=，
∴DG=2，CG=6，
∴DG=AF=2，
∵∠B=60°，
∴BF=2．
∵BC=12，
∴FG=AD=4，（2分）
顯然，當(dāng)P點(diǎn)與F或點(diǎn)G重合時(shí)，
以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形．
所以x=2或x=6；（2分）

（2）∵AD=BE=4，且AD∥BE，
∴當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，
即x=0時(shí)．點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，（2分）
又∵當(dāng)點(diǎn)P在CE中點(diǎn)時(shí)，EP=AD=4，且EP∥AD，
∴x=8時(shí)，點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；（2分）

（3）由（1）（2）知，∵∠BAF=30°，
∴AB=2BF=4，
∴x=0時(shí)，且PA=AD，
即以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．（1分）
∵AB=BE，且∠B=60°，
∴△ABE為正三角形．
∴AE=AD=4．
即當(dāng)x=8時(shí)，即以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，
∴當(dāng)BP=0或8時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．（1分）
點(diǎn)評：本題是一個(gè)開放性試題，利用梯形的性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識(shí)來解決問題，要求學(xué)生對于這些知識(shí)比較熟練，綜合性很強(qiáng)．