(2007•青島)已知:如圖,△ABC是邊長(zhǎng)3cm的等邊三角形,動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng),它們的速度都是1cm/s,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí),P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),解答下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)t為何值時(shí),△PBQ是直角三角形?
(2)設(shè)四邊形APQC的面積為y(cm2),求y與t的關(guān)系式;是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二?如果存在,求出相應(yīng)的t值;不存在,說(shuō)明理由;
(3)設(shè)PQ的長(zhǎng)為x(cm),試確定y與x之間的關(guān)系式.

【答案】分析:(1)本題要分情況進(jìn)行討論:①∠BPQ=90°;②∠BQP=90°.然后在直角三角形BQP中根據(jù)BP,BQ的表達(dá)式和∠B的度數(shù)進(jìn)行求解即可.
(2)本題可先用△ABC的面積-△PBQ的面積表示出四邊形APQC的面積,即可得出y,t的函數(shù)關(guān)系式,然后另y等于三角形ABC面積的三分之二,可得出一個(gè)關(guān)于t的方程,如果方程無(wú)解則說(shuō)明不存在這樣的t值,如果方程有解,那么求出的t值就是題目所求的值.
(3)可過(guò)P作PM⊥BC于M,先在直角三角形PQM中,用t表示出x,然后將x替換掉(2)中得出的y,t的函數(shù)關(guān)系式中t的值,即可得出y,x的函數(shù)關(guān)系式.
解答:解:(1)根據(jù)題意得AP=tcm,BQ=tcm,
△ABC中,AB=BC=3cm,∠B=60°,
∴BP=(3-t)cm,
△PBQ中,BP=3-t,BQ=t,若△PBQ是直角三角形,則
∠BQP=90°或∠BPQ=90°,
當(dāng)∠BQP=90°時(shí),BQ=BP,
即t=(3-t),t=1(秒),
當(dāng)∠BPQ=90°時(shí),BP=BQ,
3-t=t,t=2(秒),
答:當(dāng)t=1秒或t=2秒時(shí),△PBQ是直角三角形.

(2)過(guò)P作PM⊥BC于M,
△BPM中,sin∠B=,
∴PM=PB•sin∠B=(3-t),
∴S△PBQ=BQ•PM=•t•(3-t),
∴y=S△ABC-S△PBQ,
=×32×-•t•(3-t),
=t2-t+,
∴y與t的關(guān)系式為y=t2-t+,
假設(shè)存在某一時(shí)刻t,使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的,
則S四邊形APQC=S△ABC,
t2-t+=××32×,
∴t2-3t+3=0,
∵(-3)2-4×1×3<0,
∴方程無(wú)解,
∴無(wú)論t取何值,四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的

(3)在Rt△PQM中,∵M(jìn)Q=|BM-BQ|=|(1-t)|,
MQ2+PM2=PQ2
∴x2=[(1-t)]2+[(3-t)]2,
=(t2-2t+1)+(9-6t+t2),
=(4t2-12t+12)=3t2-9t+9,
∴t2-3t=(x2-9),
∵y=t2-t+,
∴y=t2-t+=×(x2-9)+=x2+,
∴y與x的關(guān)系式為y=x2+
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直角三角形的判定、圖形面積的求法、勾股定理以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn).考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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