Question

12．如圖，半圓O的直徑AC=2$\sqrt{2}$，點(diǎn)B為半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)D在弦AB上，連結(jié)CD，作BF⊥CD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連結(jié)DF，當(dāng)△BCE和△DEF相似時(shí)，BD的長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$-2或$\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 分兩種情形討論：①當(dāng)∠DFE=∠BCE時(shí)，可以證明DB=DC，BC=CF，∠DFC=∠DBC=90°即可解決問題．②當(dāng)∠FDE=∠BCE時(shí)，可以證明DF∥BC、△BDF∽△CBD得到$\frac{BD}{CB}=\frac{DF}{BD}$列出方程解決問題．

解答 解：①如圖1，當(dāng)∠DFE=∠BCE時(shí)，
∵∠DEF=∠BEC，
∴△DEF∽△BEC，
∵AC是直徑，
∴∠ABC=90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠DBE+∠EBC=90°，
∴∠DBE=∠BCE=∠DFE，
∴DB=DF，
∵DE⊥BF，
∴EB=EF，
∴BC=CF，
∵點(diǎn)B為半圓的中點(diǎn)，
∴AB=BC，
∴∠A=45°，
∵∠DBF=∠DFB，∠CBF=∠CFB，∠DBF+∠CBF=90°，
∴∠DFB+∠CFB=90°，
∴∠DFC=∠DFA=90°，
∴∠A=∠ADF=45°，
∴AF=DF=BD，
在RT$△ABC\\;中$中，∵AC=2$\sqrt{2}$，
∴AB=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=2，
∴FC=2，
∴BD=AF=AC-FC=2$\sqrt{2}$-2，
②如圖2，當(dāng)∠FDE=∠BCE時(shí)，
∵∠DEF=∠BEC，
∴△DEF∽△CEB，DF∥BC，
∴∠ADF=∠ABC=90°，
∵∠ABC=∠BEC=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠DBE+∠EBC=90°，
∴∠DBE=∠BCE=∠FDE，
∵∠BDF=∠DBC=90°，∠DBF=∠BCD，
∴△BDF∽△CBD，
∴$\frac{BD}{CB}=\frac{DF}{BD}$，
∵∠A=45°，∠ADF=90°，
∴∠AFD=∠A=45°，
∴AD=DF，
設(shè)BD=x，由（1）可知：AB=BC=2，AD=DF=2-x，
∴$\frac{x}{2}=\frac{2-x}{x}$，整理得：x²+2x-4=0，
解得：x=-1+$\sqrt{5}$（或-1-$\sqrt{5}$舍棄）
∴BD=$\sqrt{5}$-1．
故答案為2$\sqrt{2}$-2或$\sqrt{5}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，學(xué)會(huì)分類討論是解決問題的關(guān)鍵，在解題中用方程的思想解決問題．