Question

如圖①，△ABC中，點A在x軸上，點C在y軸上，BC∥x軸，AB平分∠CAO．二次函數(shù)y=ax²-5ax+4的圖象經(jīng)過△ABC的三個頂點．
（1）點C的坐標為

（0，4）

，二次函數(shù)y=ax²-5ax+4的圖象的對稱軸為

直線x=

5

2

，點B的坐標為

（5，4）

；
（2）求a的值，然后寫出二次函數(shù)的關(guān)系式；
（3）正方形EFGH的頂點E在線段AB上，頂點F在對稱軸右側(cè)的圖象上，邊GH在x軸上，求正方形EFGH的邊長；
（4）請在圖②中用尺規(guī)作圖的方式探究函數(shù)圖象上是否存在點P（點B除外），使△ACP為等腰三角形？若存在，請在圖②中作出所有滿足條件的點P（保留作圖痕跡）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用x=0求出C點坐標，再利用對稱軸公式求出對稱軸，再利用二次函數(shù)對稱性得出B點坐標即可；
（2）利用平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理得出A點坐標，進而求出函數(shù)解析式；
（3）不妨設(shè)正方形的邊長為：m（m＞0），則F（-3+3m，m），代入拋物線求出正方形的邊長即可；
（4）利用等腰三角形的性質(zhì)作出線段AC的垂直平分線以及利用AC=A得出符合題意的圖形即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²-5ax+4，
∴當x=0，則y=4，
∴C點坐標為：（0，4），
∵二次函數(shù)y=ax²-5ax+4的圖象對稱軸為：直線x=-

b

2a

=

5

2

，點C在y軸上，BC∥x軸，
∴點B的坐標為：（5，4），
故答案為：（0，4），直線x=

5

2

，（5，4）；

（2）∵BC∥x軸，AB平分∠CAO，
∴∠CAB=∠BAO，∠CBA=∠CAB，
∴∠CAB=∠CBA，
∴AC=BC，
∵點B的坐標為：（5，4），C（0，4），
∴AC=BC=5，CO=4，
∴AO=3，即A（-3，0），
代入二次函數(shù)解析式得：
9a+15a+4=0，
解得：a=-

1

6

，
∴二次函數(shù)解析式為：y=-

1

6

x²+

5

6

x+4；

（3）如圖①所示：
不妨設(shè)正方形的邊長為：m（m＞0），則F（-3+3m，m），
代入拋物線得：m=-

1

6

（-3+3m）²+

5

6

（-3+3m）+4，
整理得：m²-3m=0，
解得：m₁=0，m₂=3，
∴正方形EFGH的邊長為：3；

（4）如圖②所示：共有3個點符合題意．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的對稱性以及等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)以及一元二次方程的解法等知識，利用數(shù)形結(jié)合以及二次函數(shù)對稱性得出B點坐標是解題關(guān)鍵．