Question

閱讀下面材料：小雨遇到這樣一個問題：如圖1，直線l₁∥l₂∥l₃，l₁與l₂之間的距離是1，l₂與l₃之間的距離是2，試畫出一個等腰直角三角形ABC，使三個頂點(diǎn)分別在直線l₁、l₂、l₃上，并求出所畫等腰直角三角形ABC的面積．
小雨是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法利用平行線之間的距離，根據(jù)所求圖形的性質(zhì)嘗試用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造全等三角形解決問題．具體作法如圖2所示：在直線l₁任取一點(diǎn)A，作AD⊥l₂于點(diǎn)D，作∠DAH=90°，在AH上截取AE=AD，過點(diǎn)E作EB⊥AE交l₃于點(diǎn)B，連接AB，作∠BAC=90°，交直線l₂于點(diǎn)C，連接BC，即可得到等腰直角三角形ABC．
請你回答：圖2中等腰直角三角形ABC的面積等于

 

．
參考小雨同學(xué)的方法，解決下列問題：
如圖3，直線l₁∥l₂∥l₃，l₁與l₂之間的距離是2，l₂與l₃之間的距離是1，試畫出一個等邊三角形ABC，使三個頂點(diǎn)分別在直線l₁、l₂、l₃上，并直接寫出所畫等邊三角形ABC的面積（保留畫圖痕跡）．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),平行線之間的距離,等邊三角形的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：過點(diǎn)B作BE⊥1₁于E，過點(diǎn)A作AD⊥l₂于D，根據(jù)等角的余角相等求出∠ABE=∠ACD，然后利用“角角邊”證明△ACD和△ABE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=AD，再利用勾股定理列式求出AB的長，然后根據(jù)勾股定理求得直角邊，從而求得△ABC的面積．
如圖3先作等邊△ADE，延長DE交l₃于B點(diǎn)，在l₁上截取EC=BD，連AC、BC，則△ABC即為所求．

解答：
解：如圖2，過點(diǎn)A作AD⊥l₂于D，過點(diǎn)B作BE⊥l₁于E，
則∠EAB+∠ABE=90°，
∵AC⊥BA，
∴∠1+∠EAB=90°，
∵I₁∥I₂，
∴∠1=∠ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∵在△ACD和△ABE中，

∠ADC=∠AEB=90° ∠ABE=∠ACD AD=AE

，
∴△ACD≌△ABE（AAS），
∴AB=AC，
∵l₁，l₂之間的距離為1，l₂，l₃之間的距離為2，
∴AE=1，BE=2+1=3，
在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²=1²+3²=10，
∵AC⊥BA，AC=BA，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴S_△ABC=

1

2

AB×AC=

1

2

AB²=

1

2

×10=5．

等邊三角形ABC的面積S=

7 3

3

．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線間的距離，等腰三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．