Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，D是⊙O上的一點(diǎn)，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．
（1）判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若AF：FC=5：3，AE=16，求⊙O的直徑AB的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）直線CE與⊙O相切，
證明：如圖，連接OD，
∵AD平分∠FAE，
∴∠CAD=∠DAE．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAE．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∵EC⊥AC，
∴OD⊥EC．
∴CE是⊙O的切線．

（2）如圖，連接BF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°．
∵∠C=90°，
∴∠AFB=∠C．
∴BF∥EC．
∴AF：AC=AB：AE．
∵AF：FC=5：3，AE=16，
∴5：8=AB：16．
∴AB=10．
分析：（1）連接OD，只要證明∠ODE=90°即可．
（2）連接BF，根據(jù)圓周角定理及平行線性質(zhì)不難求得AB的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了角的平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，平行線的判定和性質(zhì)，切線的概念，直徑對(duì)的圓周角是直角求解．