Question

4．已知二次函數(shù)y=x²+mx+m-2
（1）求證：不論m取何實數(shù)，拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）若x軸截拋物線所得的弦長為$\sqrt{13}$時，求這時的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）先計算判別式的值得到△=（m-2）²+4，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷△＞0，然后根據(jù)△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)拋物線與x軸的兩交點坐標(biāo)為（a，0），（b，0），利用拋物線與x軸的交點問題，可判斷a、b為方程x²+mx+m-2=0的兩根，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=-m，ab=m-2，由于|a-b|=$\sqrt{13}$，則（a+b）²-4ab=13，所以m²-4（m-2）=13，然后解方程求出m的值即可得到拋物線解析式．

解答 （1）證明：△=m²-4（m-2）
=m²-4m+8
=（m-2）²+4，
∵（m-2）²≥0，
∴△＞0，
∴不論m取何實數(shù)，拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）解：設(shè)拋物線與x軸的兩交點坐標(biāo)為（a，0），（b，0），
則a、b為方程x²+mx+m-2=0的兩根，
∴a+b=-m，ab=m-2，
∵|a-b|=$\sqrt{13}$，
∴（a-b）²=13，
∴（a+b）²-4ab=13，
∴m²-4（m-2）=13，
整理得m²-4m-5=0，解得m₁=5，m₂=-1，
∴拋物線的解析式為y=x²+5x+3或y=x²-x-3．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程；△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．