Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AB、AD上各有一點(diǎn)P、Q，如果△APQ的周長(zhǎng)為2，則∠PCQ的度數(shù)為（　�。�

A．30°

B．45°

C．60°

D．40°

Answer 1

分析：簡(jiǎn)單的求正方形內(nèi)一個(gè)角的大小，首先從△APQ的周長(zhǎng)入手求出PQ=DQ+BP，然后將△CDQ逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使得CD、CB重合，然后利用全等來(lái)解．

解答：解：如圖所示，
△APQ的周長(zhǎng)為2，即AP+AQ+PQ=2①，
正方形ABCD的邊長(zhǎng)是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，
∴AP+AQ+QD+PB=2②，
①-②得，PQ-QD-PB=0，
∴PQ=PB+QD．
延長(zhǎng)AB至M，使BM=DQ．連接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），
∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，
∵∠DCQ+∠QCB=90°，
∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，
PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．
在△CPQ與△CPM中，
CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，
∴△CPQ≌△CPM（SSS），
∴∠PCQ=∠PCM=

1

2

∠QCM=45°．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用正方形的性質(zhì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的運(yùn)算．