Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，⊙C的圓心坐標為（-2，-2），半徑為．函數(shù)y=-x+2的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，
（1）連接CO，求證：CO⊥AB；
（2）點P為線段AB上一動點，試探索：
①當△POA是等腰三角形，求點P的坐標；
②當直線PO與⊙C相切時，求∠POA的度數(shù)；
③當直線PO與⊙C相交時，設交點為E、F，點M為線段EF的中點，令PO=t，MO=s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系，并直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）延長CO交AB于D，過點C作CG⊥x軸于點G．
因為直線AB的函數(shù)關(guān)系式是y=-x+2，所以易得A（2，0），B（0，2）
所以AO=BO=2
又因為∠AOB=90°，所以∠DAO=45°（1分）
因為C（-2，-2），所以CG=OG=2
所以∠COG=45°，∠AOD=45°（2分）
所以∠ODA=90°，
所以OD⊥AB，即CO⊥AB（3分）

（2）①要使△POA為等腰三角形，
1）當OP=OA時，此時點P與點B重合，所以點P坐標為（0，2）；
2）當PO=PA時，由∠OAB=45°，所以點P恰好是AB的中點，所以點P坐標為（1，1）；
3）當AP=AO時，則AP=2，過點P作PH⊥OA交于點H，在Rt△APH中，易得PH=AH=，所以OH=2-，
所以點P坐標為（2-，）（7分）
綜上所述，P（0，2）、P（2-，）、P（1，1）；

②當直線PO與⊙C相切時，設切點為K，連接CK，則CK⊥OK，

由點C的坐標為（-2，-2），易得CO=2 ，
又因為⊙C的半徑為 ，所以∠COK=30°，
所以∠POD=30°，又∠AOD=45°，所以∠POA=75°
同理可求出∠POA的另一個值為15°
所以∠POA等于75°或15°（10分）
③因為M為EF的中點，所以CM⊥EF，
又因為∠COM=∠POD，CO⊥AB，
所以△COM∽△POD，
所以 =，即MO•PO=CO•DO，
因為PO=t，MO=s，CO=2 ，DO=，所以st=4，
當PO過圓心C時，MO=CO=2 ，PO=DO=，即MO•PO=4，也滿足st=4，
所以s=．（ ）．
分析：（1）要靠輔助線來完成解題．延長CO交AB于D，過點C作CG⊥x軸于點G，根據(jù)題意求得坐標A，B，繼而求出∠DAO=45°．然后根據(jù)點C的坐標求出CG=OG=2，故求得∠COG=45°，∠AOD=45°后可知∠ODA=90°，證得CO⊥AB．
（2）要使△PDA為等腰三角形，要分三種條件解答．即當OP=OA；當PO=PA以及AP=AC三種情況．
（3）當直線PO與⊙O相切時，設切點為K，連接CK，則CK⊥O．由點C的坐標為（-2，-2），易得CO=2 ，求出∠COK=30°，同理求出∠POA的另一個值為15°．因為M為EF的中點，可以推出△COM∽△POD，然后根據(jù)線段比求出MO•PO=CO•DO．求出st的值．故當PO過圓心C時，可求出s的值．
點評：本題難度偏大，考查的是一次函數(shù)的運用，圓的知識以及相似三角形的有關(guān)知識．考生要注意的是要根據(jù)最基本的一次函數(shù)循序解答．要注意的是（2）中，要根據(jù)P點的不同位置進行分類求解．