已知，點(diǎn)O為等邊三角形ABC的內(nèi)心，直線m過點(diǎn)O，過A、B、C三點(diǎn)分別作直線m的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E、F．當(dāng)直線m與BC平行時(shí)（如圖1），易證：BE+CF=AD
圖1：圖2：圖3：
當(dāng)直線m繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到與BC不平行時(shí)，圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AD、BE、CF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．
分析：連接AO并延長交BC于點(diǎn)G，作GH⊥EF于點(diǎn)H，由圖1可得AO=2•OG，進(jìn)而可以證明△ADO∽△GHO得AD=2•GH，連接FG并延長交EB的延長線于點(diǎn)M，即可求證△FHG∽△FEM，即可求得BE+CF=AD，即可解題．
解答：解：圖2結(jié)論：BE+CF=AD

證明：連接AO并延長交BC于點(diǎn)G，作GH⊥EF于點(diǎn)H，
由圖1可得AO=2•OG
∵AD∥GH，∴△ADO∽△GHO．∴AD=2•GH
連接FG并延長交EB的延長線于點(diǎn)M，
△BMG≌△CFG，BM=CF，MG=FG
∵GH∥EM，∴△FHG∽△FEM．∴BE+BM=2•GH
∴BE+CF=AD
圖3結(jié)論：CF-BE=AD
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的傳遞性，考查了相似三角形對應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，考查了全等三角形的判定，本題中求證△FHG∽△FEM是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知邊長為5的等邊三角ABC紙片，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)F在AB邊上，沿著EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D的位置，且ED⊥BC，則CE的長是
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0,2），點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，以線段AP為一邊，在其一側(cè)作等邊三角線APQ。當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到原點(diǎn)O處時(shí)，記Q得位置為B。
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求證：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動（P不與Q重合）時(shí)，∠ABQ為定值；
（3）是否存在點(diǎn)P，使得以A、O、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2012屆山東勝利七中九年級中考二模數(shù)學(xué)試卷（帶解析） 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，以線段AP為一邊，在其一側(cè)作等邊三角線APQ．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到原點(diǎn)O處時(shí)，記Q的位置為B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求證：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動（P不與O重合）時(shí)，∠ABQ為定值；

（3）是否存在點(diǎn)P，使得以A、O、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2011年初中畢業(yè)升學(xué)考試（湖南長沙卷）數(shù)學(xué) 題型：解答題

．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0,2），點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，以線段AP為一邊，在其一側(cè)作等邊三角線APQ。當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到原點(diǎn)O處時(shí)，記Q得位置為B。
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求證：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動（P不與Q重合）時(shí)，∠ABQ為定值；
（3）是否存在點(diǎn)P，使得以A、O、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2011年初中畢業(yè)升學(xué)考試（湖北黃岡卷）數(shù)學(xué) 題型：解答題

．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0,2），點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，以線段AP為一邊，在其一側(cè)作等邊三角線APQ。當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到原點(diǎn)O處時(shí)，記Q得位置為B。

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求證：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動（P不與Q重合）時(shí)，∠ABQ為定值；

（3）是否存在點(diǎn)P，使得以A、O、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

 

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