Question

如圖，⊙O是△BCE的外接圓，BC為⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，過點A作AD⊥CE，垂足為D，連接AB與CE相交于點F，∠ABC=45°．
（1）求證：AD=CE；
（2）若DE=8，tan∠BCE=

1

3

，求AF的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先證明△ABC是等腰直角三角形，然后證明△CBE≌△CAD，即可證得；
（2）易證△BEF∽△ADF，設(shè)CD=x，EF=y，DF=2x-y，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求得x和y的關(guān)系，然后根據(jù)DE=8，即可求得x的值，進而求得AF的長．

解答：（1）證明：∵∠ABC=45°，AC為⊙O的切線，
∴△ABC是等腰直角三角形，AC=CB，
∵∠ECB+∠DCA=∠DAC+∠DCA=90°，
∴∠ECB=∠DAC，
則在△CBE和△CAD中，

∠ECB=∠DAC ∠BEC=∠CDA AC=CB

，
∴△CBE≌△CAD（AAS），
∴AD=CE；
（2）解：∵∠BEF=∠ADF，∠EFB=∠AFD，
∴△BEF∽△ADF，
∴

EF

FD

=

BE

AD

，設(shè)CD=x，EF=y，則DF=2x-y，
則

y

2x-y

=

x

3x

，
∴x=2y，
∵ED=8，即2x=8，則x=4，
FD=

3

2

x=6，AD=12，
AF=

5

FD=6

5

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確利用x、y表示出DF是關(guān)鍵．