Question

如圖，已知△ABC中，AB=1Ocm，AC=8cm，BC=6cm．如果點P由B出發(fā)沿點BA向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC向點C勻速運動，P點速度為2cm/s，Q點速度為1cm/s，連接PQ，設(shè)運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤5）．
（1）當(dāng)t為何值時，PQ∥BC；
（2）設(shè)四邊形PQCB的面積為S（單位：cm²），當(dāng)t為何值時，S取最小值，并求出最小值．
（3）是否存在某時刻t，使線段PQ怡好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）證△APQ∽△ABC，推出

AP

AB

=

AQ

AC

，代入得出

10-2t

10

=

t

8

，求出方程的解即可；
（2）求出∠C=90°，過P作PD⊥AC于D，證△APD∽△ABC，代入得出方程

10-2t

10

=

PD

6

，求出PD=

3

5

（10-2t），根據(jù)三角形的面積公式求出即可；
（3）假設(shè)存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，得出方程-

6

5

t²+6t=

1

2

×

1

2

×8×6，求出此方程無解，即可得出答案．

解答：解：（1）由題意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴

AP

AB

=

AQ

AC

，
∴

10-2t

10

=

t

8

，
t=

40

13

，
即當(dāng)t為

40

13

s時，PQ∥BC；
（2）∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠C=90°，
過P作PD⊥AC于D，
則PD∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴

AP

AB

=

PD

BC

，
∴

10-2t

10

=

PD

6

，
PD=

3

5

（10-2t），
∴S_△APQ=

1

2

AQ•PD=

1

2

•t•

3

5

（10-2t）=-

3

5

t²+3t，
∴S=S△ABC-S△APQ=

1

2

×8×6-（-

3

5

t²+3t）=

3

5

t²-3t+24=

3

5

（t-

5

2

）²+

81

4

，
當(dāng)t=

5

2

秒時，S的最小值是

81

4

cm²．

（3）假設(shè)存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，
則S_△APQ=

1

2

S_△ABC
即-

3

5

t²+3t=

1

2

×

1

2

×8×6
t²-5t+20=0，
∵△=5²-4×1×20=-55＜0，
∴此方程無解，
即不存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分．

點評：本題考查了三角形的面積，二次函數(shù)的最值，勾股定理的逆定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用進(jìn)行推理和計算的能力．