Question

13．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點（-2，0），（x₁，0），且1＜x₁＜2，與y軸的正半軸的交點在（0，2）的下方，下列結(jié)論：①4a-2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a-b+1＞0，其中正確結(jié)論的個數(shù)有（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)已知畫出圖象，把x=-2代入得：4a-2b+c=0，由拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2a}$=$\frac{-2+{x}_{1}}{2}$＞$\frac{1}{2}$，即$\frac{a}$＜1，由a＜0，兩邊都乘以a得：b＞a，對稱軸x=-$\frac{2a}$＜0，則b＜0，得出a＜b＜0．由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知x₁•x₂=$\frac{c}{a}$＜-2，結(jié)合a＜0得2a+c＞0，；把x=-1代入得到a-b+c＞0；根據(jù)-$\frac{2a}$＜0，推出a＜0，b＜0，a+c＞b，計算2a+c=2b-2a＞0；代入得到2a-b+1=-$\frac{1}{2}$c+1＞0，根據(jù)結(jié)論判斷即可．

解答 解：根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，與y軸的正半軸的交點在（0，2）的下方，畫出圖象為：如圖
把x=-2代入得：4a-2b+c=0，
∴①正確；
由圖象開口向下知a＜0，
由y=ax²+bx+c與x軸的另一個交點坐標為（x₁，0 ），且1＜x₁＜2，
則該拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2a}$=$\frac{-2+{x}_{1}}{2}$＞$\frac{1}{2}$，即$\frac{a}$＜1，
由a＜0，兩邊都乘以a得：b＞a，
∵a＜0，對稱軸x=-$\frac{2a}$＜0，
∴b＜0，
∴a＜b＜0．
∴②正確；
∵（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁，
∴取符合條件1＜x₁＜2的任何一個x₁，-2•x₁＜-2，
∴由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知 x₁•x₂=$\frac{c}{a}$＜-2，
∴不等式的兩邊都乘以a（a＜0）得：c＞-2a，
∴2a+c＞0，
∴③正確；
④由4a-2b+c=0得 2a-b=-$\frac{c}{2}$，
而0＜c＜2，∴-1＜-$\frac{c}{2}$＜0
∴-1＜2a-b＜0
∴2a-b+1＞0，
∴④正確．
所以①②③④三項正確．
故選D．

點評 本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，拋物線與X軸的交點，二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系等知識點的理解和掌握，能根據(jù)圖象確定與系數(shù)有關(guān)的式子得符號是解此題的關(guān)鍵．