Question

矩形ABCD在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），BC=2AB、直線l經(jīng)過點(diǎn)B，交AD邊于點(diǎn)P₁，此時(shí)直線l的函數(shù)表達(dá)式是y=2x+1．
（1）求BC、AP₁的長(zhǎng)；
（2）沿y軸負(fù)方向平移直線l，分別交AD、BC邊于點(diǎn)P、E．
①當(dāng)四邊形BEPP，是菱形時(shí)，求平移的距離；
②設(shè)AP=m，當(dāng)直線l把矩形ABCD分成兩部分的面積之比為3：5時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)l的函數(shù)解析式y(tǒng)=2x+1可以求出B的坐標(biāo)，也就求出了AB，又BC=2AB，由此求出BC，然后就可以求出P₁的縱坐標(biāo)為3，代入直線解析式可以求出橫坐標(biāo)，即求出了AP₁的長(zhǎng)；
（2）①當(dāng)四邊形BEPP₁是菱形時(shí)，根據(jù)勾股定理可以求出BP₁的長(zhǎng)，也就求出了BE的長(zhǎng)度，然后即可求出E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可以確定平移后的直線的解析式，接著求出平移后的直線的與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，比較兩個(gè)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求出平移的距離；
②由AP=m，AP₁=1可以得到PP₁=BE=m-1，而直線l把矩形ABCD分成兩部分的面積之比為3：5，由此可以列出關(guān)于m的方程，解方程即可求出m的值．

解答：解：（1）∵直線y=2x+1經(jīng)過y軸上的點(diǎn)B，
∴x=0，y=1，
∴B（0，1），
而A的坐標(biāo)為（0，3），
∴AB=2，
∴BC=2AB=4，
∴P₁的縱坐標(biāo)為3，
代入y=2x+1，x=1，
∴AP₁=1；

（2）①當(dāng)四邊形BEPP₁是菱形時(shí)，
即BP1=BE=

AP1+AB2

=

5

，
∴E(

5

，1)，
設(shè)平移后的直線的解析式為y=2x+b，
把E(

5

，1)代入得b=1-2

5

，
∴與y軸的交點(diǎn)B′(0.1-2

5

)，
∴沿y軸負(fù)方向平移的距離為BB′=1-(1-2

5

)=2

5

；
②∵AP=m，AP₁=1，
∴PP₁=BE=m-1，
而S_梯形ABEP=

3

8

S_矩形ABCD或S_梯形ABEP=

5

8

S_矩形ABCD，
∴

(m-1+m)•2

2

=

3

8

×8或

(m-1+m)•2

2

=

5

8

×8．
∴m=2或者m=3，
所以m=2或3．

點(diǎn)評(píng)：此題把矩形放在坐標(biāo)系的背景中，綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識(shí)的應(yīng)用，題中運(yùn)用矩形與直線的關(guān)系以及直角三角形、梯形等知識(shí)求出線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．