Question

（1）已知：如圖1，四邊形ABCD內接于⊙O，延長BC至E．求證：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A．
（2）依已知條件和（1）中的結論：
①如圖2，若點C在⊙O外，且A、C兩點分別在直線BD的兩側．試確定∠A+∠BCD與180°的大小關系；
②如圖3，若點C在⊙O內，且A、C兩點分別在直線BD的兩側．試確定∠A+∠BCD與180°的大小關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，BD，由同弧所對的圓周角相等與四邊形的內角和為360°，即可證得∠A+∠BCD=180°；又由同角的補角相等，求得∠DCE=∠A；
（2）根據(jù)圓的內接四邊形的對角互補與三角形的外角的性質，即可證得結論．
解答：解：（1）連接AC，BD，
則：∠1=∠4，∠2=∠7，∠3=∠6，∠5=∠8，
∴∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=2（∠1+∠2+∠5+∠6）=360°，
∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°，
∴∠A+∠BCD=180°；
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠DCE=∠A；


（2）①連接DE，
∵∠A+∠BED=180°，∠BDE＞∠BCD，
∴∠A+∠BCD＜180°；
②延長DC交⊙O于點E，連接BE，
∵∠A+∠E=180°，∠BCD＞∠E，
∴∠A+∠BCD＞180°．
點評：此題考查了圓的內接四邊形的對角互補的性質與證明，此題的圖形變換比較多，所以要注意識圖．