Question

如圖，梯形ABCD兩對(duì)角線交于點(diǎn)K，分別以AB、CD為直徑各作一圓，K位于兩圓之外．證明：由點(diǎn)K向這兩個(gè)圓所作的切線長(zhǎng)相等．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓

專題：

分析：首先得出點(diǎn)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，進(jìn)而得出點(diǎn)A，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，由切割線定理求出即可．

解答：證明：設(shè)AC與圓交于點(diǎn)E，BD與圓交于點(diǎn)F，KM切以AB為直徑的圓于M，KN切以CD為直徑的圓于N，
連結(jié)EF，BE，CF，
則∠BEC=∠CFB=90°，
故點(diǎn)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，
則∠CBF=∠CEF，
∵BC∥AD，
∴∠CBF=∠BDA，
∴∠CEF=∠BDA，
∴點(diǎn)A，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，
∴KE•KA=KF•KD，
由切割線定理可得：
 KM²=KE•KA，KN²=KF•KD，
∴KM²=KN²
∴KM=KN．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了四點(diǎn)共圓的性質(zhì)以及切割線定理，得出點(diǎn)A，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓是解題關(guān)鍵．