Question

如圖，在△ABC中，O是內(nèi)心，點(diǎn)E，F(xiàn)都在大邊BC上，已知BF=BA，CE=CA．
（1）求證：O是△AEF的外心；
（2）若∠B=40°，∠C=30°，求∠EOF的大�。�

Answer 1

分析：（1）連接OA、OB、OC、OE、OF，證△ABO≌△FBO，推出OA=OF，OA=OF即可；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠AFE=90°-

1

2

∠B，∠AEF=90°-

1

2

∠C，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可．

解答：解：（1）證明：連接OA、OB、OC、OE、OF，
∵O是△ABC的內(nèi)心，
∴∠OBA=∠FBO，
在△ABO和△FBO中

BA=BF ∠ABO=∠FBO BO=BO

∴△ABO≌△FBO（SAS），
∴OA=OF，
同理OA=OE，
∴OA=OE=OF，
∴O是△ABC的外心．

（2）∵O是△AEF的外心，
∴∠EOF=2∠EAF，
在等腰三角形BO⊥AF，
∴∠AFE=90°-

1

2

∠B，
同理∠AEF=90°-

1

2

∠C，
∴∠EOF=2∠EAF=2（180°-∠AEF-∠AFE），
=[180°-（90°-

1

2

∠C）-（90°-

1

2

∠B）=2（

1

2

∠B+

1

2

∠C）=70°，
答：∠EOF的度數(shù)是70°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．