Question

19．提出問題：
（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上．連結(jié)AN，DM相交于點(diǎn)P，若AM=BN，求證：∠DPN=90°．
類比探究：
（2）如圖2，在正五邊形ABCDE中，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，連結(jié)AN，EM相交于點(diǎn)P，若AM=BN，試求出∠EPN的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出AD=AB，∠DAM=∠ABN=90°，由SAS證明△ADM≌△BAN，得出∠ADM=∠BAN，即可得出結(jié)果；
（2）由正五邊形的性質(zhì)得出AB=AE，∠EAM=∠ABN=108°，由SAS證明△AEM≌△BAN，得出∠AEM=∠BAN，由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠APE的度數(shù)，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAM=∠ABN=90°，
∴∠BAN+∠DAP=90°，
在△ADM和△BAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}&{\;}\\{∠DAM=∠ABN}&{\;}\\{AM=BN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BAN（SAS），
∴∠ADM=∠BAN，
∴∠DPN=∠ADM+∠DAP=∠BAN+∠DAP=90°；
（2）解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴AB=AE，∠EAM=∠ABN=108°，
在△AEM和△BAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}&{\;}\\{∠EAM=∠ABN}&{\;}\\{AM=BN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△BAN（SAS），
∴∠AEM=∠BAN，
∵∠APE=∠AME+∠BAN=∠AEM+∠AME=180°-108°=72°，
∴∠EPN=180°-72°=108°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、正五邊形的性質(zhì)；熟練掌握正方形和正五邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．