Question

【題目】猜想與證明：如圖①擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B，C，G三點(diǎn)在一條直線上，CE在邊CD上．連結(jié)AF，若M為AF的中點(diǎn)，連結(jié)DM，ME，試猜想DM與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

拓展與延伸：

(1)若將“猜想與證明”中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關(guān)系為__________________；

(2)如圖②擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF的中點(diǎn)，試證明(1)中的結(jié)論仍然成立．[提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半]

①②

Answer 1

【答案】猜想與證明：猜想DM與ME的數(shù)量關(guān)系是：DM＝ME. 拓展與延伸：DM＝ME，DM⊥ME

【解析】試題分析：猜想：延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明．

（1）延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明，

（2）連接AE，AE和EC在同一條直線上，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明，

試題解析：猜想：DM=ME

證明：如圖1，延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，

∴AD∥EF，

∴∠EFM=∠HAM，

又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM，

在△FME和△AMH中，

∴△FME≌△AMH（ASA）

∴HM=EM，

在RT△HDE中，HM=EM，

∴DM=HM=ME，

∴DM=ME．

（1）如圖1，延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD和CEFG是正方形，

∴AD∥EF，

∴∠EFM=∠HAM，

又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM，

在△FME和△AMH中，

∴△FME≌△AMH（ASA）

∴HM=EM，

在RT△HDE中，HM=EM，

∴DM=HM=ME，

∴DM=ME．

∵四邊形ABCD和CEFG是正方形，

∴AD=CD，CE=CF，

∵△FME≌△AMH，

∴EF=AH，

∴DH=DE，

∴△DEH是等腰直角三角形，

又∵MH=ME，

（2）如圖2，連接AE，

∵四邊形ABCD和ECGF是正方形，

∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，

∴AE和EC在同一條直線上，

在Rt△ADF中，AM=MF，

∴DM=AM=MF，∠MDA=∠MAD，

∴∠DMF=2∠DAM．

在Rt△AEF中，AM=MF，

∴AM=MF=ME，

∴DM=ME．

∵∠MDA=∠MAD，∠MAE=∠MEA，

∴∠DME=∠DMF+∠FME=∠MDA+∠MAD+∠MAE+∠MEA=2（∠DAM+∠MAE）=2∠DAC=2×45°=90°．

∴DM⊥ME．